Случайное поле обобщенное

обобщенный случайный процесс, - случайная функция на гладком многообразии G, типичными реализациями к-рой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии G. Точнее, пусть G- бесконечногладкое многообразие и D(G) -пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на G, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на Gопределено С. п. о., если задано непрерывное линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/051931-6.jpg] пространства D(G)в пространство [img: http://localhost:8080/file/051931-7.jpg] случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/051931-8.jpg] с выделенной [img: http://localhost:8080/file/051931-9.jpg] -алгеброй его подмножеств [img: http://localhost:8080/file/051931-10.jpg] и вероятностной мерой [img: http://localhost:8080/file/051931-11.jpg] определенной на [img: http://localhost:8080/file/051931-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051931-13.jpg] снабжено топологией сходимости по мере [7]. В случае когда вероятностным пространствам является пространство D'(G)обобщенных функций на. с [img: http://localhost:8080/file/051931-14.jpg] -алгеброй [img: http://localhost:8080/file/051931-15.jpg] порожденной цилиндрич. множествами в D'(G), а отображение задается формулами [img: http://localhost:8080/file/051931-16.jpg] С. п. о. [img: http://localhost:8080/file/051931-17.jpg] наз. каноническим. Оказывается, что любое С. п. о. на конечномерном многообразии G вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. случайному полю на G (см. [2]). Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций: напр., можно рассмотреть С. п. о. с векторными значениями или вместо пространства D(G) использовать в определении какое-нибудь более обширное пространство основных функций на G (скажем, в случае G=Rn, n=l, 2, 3, пространства.(Rn) бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени [img: http://localhost:8080/file/051931-18.jpg] Понятие С. п. о. включает в себя классич. случайные поля и процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в сер. 50-х гг. 20 в., когда обнаружилось, что многие естественные стохостич. образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классических случайных полей, а на языке С. п. о. имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на D(Rn), n=1, 2,..., [img: http://localhost:8080/file/051931-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051931-20.jpg] где W(x1, x2) - положительно определенная симметрическая обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское С. п. о. [img: http://localhost:8080/file/051931-21.jpg] на Rn (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля [img: http://localhost:8080/file/051931-22.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/051931-23.jpg] - соответствующая этому полю вероятностная мера в D'(Rn)). Это С. и. о. оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции W(x1,x2) (напр., непрерывной и ограниченной). Другие примеры: С. п. о. на Rn с независимыми значениями (см. [2]) или т. н. автомодельные случайные поля на Rn (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. полей. Интерес к исследованию С. п. о. (особенное марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в нач. 70-х гг. связи между задачей построения квантового физич. поля и построением марковских С. п. о. на Rn при п>1 (см. [5]).