Случайное поле однородное

- случайное поле X(s), заданное на однородном пространстве S = {s} точек s, снабженном транзитивной группой G={g} преобразований, переводящих пространство Sв себя, и обладающее тем свойством, что определенные статистич. характеристики значений этого поля не меняются при применении к аргументам s произвольного преобразования группы G. Различают два разных класса С. п. о.: поле X(s)наз. С. п. о. в узком смысл е, если при любых n=1,2,... и [img: http://localhost:8080/file/051931-24.jpg] конечномерное распределение вероятностей значений поля в произвольных. точках s1,..., sn совпадает с распределением вероятностей значений того же поля в точках gs1,..., gsn; если же [img: http://localhost:8080/file/051931-25.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051931-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051931-27.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/051931-28.jpg] то X(s)наз. С. п. о. в широком смысле. Важный частный случай - С. п. о. на евклидовом k-мерном пространстве Rk (или на решетке Zk точек Rk с целочисленными координатами), отвечающее выбору группы всевозможных параллельных переносов в качестве группы G; иногда под С. п. о. вообще понимают лишь поле этого последнего типа. С. п. о. на Rk, отвечающее группе G всевозможных изометрич. преобразований Rk (порожденных параллельными переносами, вращениями и симмотриями), часто наз. однородным и изотропным случайным полем. Понятие С. п. о. представляет собой естественное обобщение понятия стационарного случайного процесса;как и в случае стационарного процесса и само С. п. о., и его ковариационная функция допускают спектральное разложение специального вида (см., напр., [1] - [3]). С. п. о. и нек-рые их обобщения часто возникают в различных прикладных вопросах. В частности, в статистич. теории турбулентности важную роль играют как однородные и изотропные случайные поля на Rk (скалярные и векторные), так и т. н. локально однородные и локально изотропные случайные поля (иначе - поля с однородными и изотропными приращениями), представляющие собой простое обобщение однородных и изотропных полей (см., напр., [4]), а в современной теории физических квантовых полей и в статистич. физике применяется теория обобщенных С. п. о., также включающих С. п. о. в качестве частного случая (см. Случайное поле обобщенное).