Случайные размещения

вероятностная схема, в к-рой пчастиц случайно размещаются в Nячейках. В наиболее простой схеме равновероятных размещений каждая из пчастиц независимо от других частиц может попасть в любую фиксированную ячейку с вероятностью 1/N. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051931-79.jpg] - число ячеек, в к-рых после такого размещения оказалось ровно rчастиц и пусть [img: http://localhost:8080/file/051931-80.jpg] Производящая функция [img: http://localhost:8080/file/051931-81.jpg] имеет следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/051931-82.jpg] Производящая функция (1) позволяет вычислять моменты [img: http://localhost:8080/file/051931-83.jpg] и изучать асимптотич. свойства распределений [img: http://localhost:8080/file/051931-84.jpg] при n, [img: http://localhost:8080/file/051931-85.jpg] Эти асимптотич. свойства в значительной степени определяются поведением параметра [img: http://localhost:8080/file/051931-86.jpg] - среднего числа частиц на одну ячейку. Если п, [img: http://localhost:8080/file/051931-87.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051931-88.jpg] то при фиксированных rи t [img: http://localhost:8080/file/051931-89.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051931-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051931-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051931-92.jpg] - символ Кронекера. Можно выделить пять различных типов областей, в к-рых асимптотич. поведение [img: http://localhost:8080/file/051931-93.jpg] различны. Центральной областью наз. такая область изменения п, [img: http://localhost:8080/file/051931-94.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051931-95.jpg] Область п, [img: http://localhost:8080/file/051931-96.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/051931-97.jpg] наз. правой r-областью. Правой промежуточной областью наз. область изменения п, [img: http://localhost:8080/file/051931-98.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/051931-99.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/051931-100.jpg] левой r-областью наз. область изменений п, [img: http://localhost:8080/file/051931-101.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051931-102.jpg] Левой промежуточной r-областью наз. область, в к-рой [img: http://localhost:8080/file/051931-103.jpg] Левые и левые промежуточные r-области для r=0,1 считают совпадающими с соответствующими 2-областями. В равновероятной схеме размещения в правой r-области [img: http://localhost:8080/file/051931-104.jpg] имеет асимптотически пуассоновское распределение. В левой r-области [img: http://localhost:8080/file/051931-105.jpg] имеет при [img: http://localhost:8080/file/051931-106.jpg] также в пределе пуассоновское распределение; при r=0 и r=1 предельные пуассоновские распределения имеют [img: http://localhost:8080/file/051931-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051931-108.jpg] В левых и правых промежуточных r-областях [img: http://localhost:8080/file/051931-109.jpg] имеют асимптотически нормальное распределение. В центральной области доказана многомерная нормальная теорема для [img: http://localhost:8080/file/051931-110.jpg] параметры предельного нормального распределения определяются асимптотич. формулами (2) (см. [1]). Размещение, в к-ром пчастиц независимо друг от друга распределяются по N ячейкам и вероятность каждой из частиц попасть в j-ю ячейку равна [img: http://localhost:8080/file/051931-111.jpg] 1, наз. полиномиальным. Для полиномиального размещения также можно ввести центральную, правые и левые области изменений п, N и al, для к-рых доказаны предельные нормальные и пуассоновские теоремы (см. [1], [3]). Пользуясь этими теоремами, можно рассчитать мощность пустых ящиков критерия. Пусть имеются независимые случайные величины [img: http://localhost:8080/file/051931-112.jpg]..., [img: http://localhost:8080/file/051931-113.jpg] каждая из к-рых имеет непрерывную функцию распределения F(х)(гипотеза H0). Конкурирующая гипотеза Н 1 соответствует другой функции распределения F1(x). Точки [img: http://localhost:8080/file/051931-114.jpg] выбирают так, чтобы F(zk)-F(zk-1)=l/N, k=1,...,N. Критерий пустых ящиков строится на основе статистики [img: http://localhost:8080/file/051931-115.jpg] равной числу полуинтервалов [img: http://localhost:8080/file/051931-116.jpg] в к-рые не попало ни одного значения [img: http://localhost:8080/file/051931-117.jpg] Критерии пустых ящиков определяется критич. множеством [img: http://localhost:8080/file/051931-118.jpg] >С, при к-ром гипотеза H0 отвергается. Поскольку [img: http://localhost:8080/file/051931-119.jpg] имеет при основной гипотезе H0 распределение, определяемое равномерным размещением, а при конкурирующей гипотезе Н 1- распределение, определяемое полиномиальным размещением, то можно воспользоваться предельными теоремами для [img: http://localhost:8080/file/051931-120.jpg] при расчете мощности [img: http://localhost:8080/file/051931-121.jpg] этого критерия (см. [2]). В схеме размещения частиц комплектами предполагается, что частицы размещаются в Nячейках комплектами по тчастиц, причем частицы одного комплекта могут располагаться в ячейках только по одной, а расположения комплектов независимы. Если все [img: http://localhost:8080/file/051931-122.jpg] расположения комплектов равновероятны, а число комплектов [img: http://localhost:8080/file/051931-123.jpg] то при ограниченных или слабо растущих тсохраняются свойства асимптотич. нормальности и предельной пуассоновости случайных величин [img: http://localhost:8080/file/051931-124.jpg] Возможны различные обобщения схем размещения (см. [1]), связанные с целым рядом комбинаторных задач теории вероятностей (случайные подстановки, отображения, деревья и т. п.).