Смещенная оценка

- статистическая оценка, математич. ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой величиной. Пусть X - случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве [img: http://localhost:8080/file/051935-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051935-42.jpg] и пусть Т=Т (Х) - точечная статистич. оценка функции [img: http://localhost:8080/file/051935-43.jpg] заданной на параметрич. множестве [img: http://localhost:8080/file/051935-44.jpg] Предполагается, что математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/051935-45.jpg] оценки Тсуществует. Если в этих условиях функция [img: http://localhost:8080/file/051935-46.jpg] не равна тождественно нулю, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/051935-47.jpg] то Тназ. смещенной оценкой функции [img: http://localhost:8080/file/051935-48.jpg] а сама функция [img: http://localhost:8080/file/051935-49.jpg] наз. смещением или систематической ошибкой оценки Т. Пример. Пусть Х 1,..., Х п - взаимно независимые одинаково нормально [img: http://localhost:8080/file/051935-50.jpg] распределенные случайные величины и пусть [img: http://localhost:8080/file/051935-51.jpg] В таком случае статистика [img: http://localhost:8080/file/051935-52.jpg] является С. о. дисперсии [img: http://localhost:8080/file/051935-53.jpg] так как [img: http://localhost:8080/file/051935-54.jpg] т. е. оценка S2n имеет смещение [img: http://localhost:8080/file/051935-55.jpg] при этом квадратичный риск этой С. о. равен [img: http://localhost:8080/file/051935-56.jpg] Наилучшей несмещенной оценкой параметра [img: http://localhost:8080/file/051935-57.jpg] является статистика [img: http://localhost:8080/file/051935-58.jpg] квадратичный риск к-рой равен [img: http://localhost:8080/file/051935-59.jpg] В данном случае при n>2 квадратичный риск С. о. S2n меньше квадратичного риска наилучшей несмещенной оценки s2n. Существуют ситуации, когда несмещенные оценки не существуют. Так, напр., не существует несмещенной оценки для абсолютной величины | а| математич. ожидания анормального закона [img: http://localhost:8080/file/051935-60.jpg] т. е. для | а| можно построить только С. о.