Собственное значение

оператора (преобразования) А векторного пространства Lнад полем k - элемент [img: http://localhost:8080/file/051936-56.jpg] такой, что существует ненулевой вектор [img: http://localhost:8080/file/051936-57.jpg] удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/051936-58.jpg] Вектор хв этом равенстве наз. собственным векторам оператора А, принадлежащим С. з. [img: http://localhost:8080/file/051936-59.jpg] В случае, когда оператор А линеен, С. з.- это такой элемент [img: http://localhost:8080/file/051936-60.jpg] что оператор [img: http://localhost:8080/file/051936-61.jpg] (где I - тождественный оператор) не инъективен. Если пространство. конечномерно, то С. з. совпадают с корнями характеристического многочлена [img: http://localhost:8080/file/051936-62.jpg] (из поля k), где А - матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е - единичная матрица. Кратность С. з. как корня этого многочлена наз. алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем kмножество С. з. непусто. Оба условия - конечномерность и алгебраич. замкнутость - существенны. Напр., поворот евклидовой плоскости [img: http://localhost:8080/file/051936-63.jpg] на любой угол, не кратный [img: http://localhost:8080/file/051936-64.jpg] не имеет С. з. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единичного круга - С. з. Совокупность всех С. з. линейного преобразования конечномерного пространства наз. спектром линейного преобразования. Линейное преобразование n-мерного пространства диагоналмзируемо (т. е. существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого С. з. равна его геометрической кратности - размерности собственного подпространства (см. Собственный вектор). соответствующего данному С. з. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело празличных С. з. Собственное значение квадратной матрицы. над полем k(или характеристический корень) - корень ее характеристического многочлена. Лит. см. при статьях Линейное преобразование. Матрица. Т. С. Пиголкина, В. С. Шулъман.