Собственный вектор

оператора А, действующего в векторном пространстве Lнад полем k - ненулевой вектор [img: http://localhost:8080/file/051937-1.jpg] к-рый переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е. [img: http://localhost:8080/file/051937-2.jpg] Коэффициент [img: http://localhost:8080/file/051937-3.jpg] наз. собственным значением оператора А. Если оператор А линеен, то множество [img: http://localhost:8080/file/051937-4.jpg] всех С. в., отвечающих собственному значению [img: http://localhost:8080/file/051937-5.jpg] вместе с нулевым вектором, является линейным подпространством. Оно наз. собственным подпространством оператора А, отвечающим собственному значению [img: http://localhost:8080/file/051937-6.jpg] и совпадает с ядром [img: http://localhost:8080/file/051937-7.jpg] оператора [img: http://localhost:8080/file/051937-8.jpg] (т. е. с множеством векторов, переводимых этим оператором в 0). Если L - топологич. векторное пространство и А - непрерывный оператор, то [img: http://localhost:8080/file/051937-9.jpg] замкнуто для любого [img: http://localhost:8080/file/051937-10.jpg] Вообще говоря, собственное подпространство не обязано быть конечномерным, но если А вполне непрерывен (компактен), то [img: http://localhost:8080/file/051937-11.jpg] конечномерно для любого ненулевого [img: http://localhost:8080/file/051937-12.jpg] В сущности, наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах - явление довольно редкое, хотя важные для приложений операторы специальных классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Обобщением понятий С. в. и собственного подпространства являются понятия корневого вектора и корневого подпространства. У нормальных (в частности, самосопряженных или унитарных) операторов все корневые векторы являются собственными, и собственные подпространства, отвечающие различным С. в., взаимно ортогональны.