Собственный морфизм

- морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем f: [img: http://localhost:8080/file/051937-13.jpg] наз. замкнутым, если для любого замкнутого множество f(Z) замкнуто в Y, и универсально замкнутым, если для любой замены базы [img: http://localhost:8080/file/051937-14.jpg] замкнут морфизм [img: http://localhost:8080/file/051937-15.jpg] Свойство быть С. м. сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. С. м. близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой С. м. доминируется проективным (лемма Чжоу). См. также Полное алгебраическое многообразие, Проективная схема. С. м. обладают рядом хороших когомологич. свойств. 1) Если морфизм [img: http://localhost:8080/file/051937-16.jpg] собственный и F- когерентный пучок О X -модулей, то для любого [img: http://localhost:8080/file/051937-17.jpg] пучки О Y -модулей [img: http://localhost:8080/file/051937-18.jpg] когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X - полная схема над полем k, то пространства когомологий Н q(Х, F)конечномерны. 2) Для любой точки [img: http://localhost:8080/file/051937-20.jpg] пополнение OY, у -модуля [img: http://localhost:8080/file/051937-19.jpg] совпадает с [img: http://localhost:8080/file/051937-21.jpg] где J - идеал подсхемы f-1 (у) в X(теорема о сравнении). 3) Если X - собственная схема над полным локальным кольцом А, то категории когерентных пучков на Xи на ее формальном пополнении [img: http://localhost:8080/file/051937-22.jpg] эквивалентны (теорема алгебраизуeмости). Существуют аналитич. аналоги первого и третьего свойств. Напр. (см. [3]): для полной [img: http://localhost:8080/file/051937-23.jpg] -схемы Xлюбой аналитический когерентный пучок на [img: http://localhost:8080/file/051937-24.jpg] алгебраизуем и [img: http://localhost:8080/file/051937-25.jpg] 4) Пусть [img: http://localhost:8080/file/051937-26.jpg] - С. м., F - пучок конечных абелевых групп в этальной топологии X, [img: http://localhost:8080/file/051937-27.jpg] - геометрич. точка схемы Y; тогда слой пучка [img: http://localhost:8080/file/051937-28.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/051937-29.jpg] изоморфен [img: http://localhost:8080/file/051937-30.jpg] (теорема о замене базы, см. [2]).