Совершенное поле

- поле k, любой многочлен над к-рым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраич. расширение поля k- сепарабельное расширение. Все остальные поля наз. несовершенными. Все поля характеристики 0 совершенны. Поле kконечной характеристики рсовершенно тогда и только тогда, когда k=kP, т. е. возведение в степень рявляется автоморфизмом поля k. Конечные поля и алгебраически замкнутые поля совершенны. Пример несовершенного поля - поле Fq(X)рациональных функций над полом Fq, где Fq - поле из q=pn элементов. С. п. kсовпадает с полем инвариантов группы всех k-автоморфизмов алгебраич. замыкания [img: http://localhost:8080/file/051937-140.jpg] поля k. Любое алгебраич. расширение С. и. снова совершенно. Для произвольного поля kхарактеристики р>0 с алгебраич. замыканием [img: http://localhost:8080/file/051937-141.jpg] поле является наименьшим [img: http://localhost:8080/file/051937-142.jpg] С. п., содержащим k. Оно наз. совершенным замыканием поля k в [img: http://localhost:8080/file/051937-143.jpg]