Сопряженное дифференциальное уравнение

к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению l(y)=0 - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/051939-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051939-34.jpg] С т (I) - пространство m раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [img: http://localhost:8080/file/051939-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051939-36.jpg] (черта означает операцию комплексного сопряжения). Из определения следует, что [img: http://localhost:8080/file/051939-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051939-38.jpg] - скаляр. Сопряженным к уравнению [img: http://localhost:8080/file/051939-39.jpg] является уравнение l(y)=0. Для любых праз непрерывно дифференцируемых функций у(t)и [img: http://localhost:8080/file/051939-40.jpg] справедливо тождество Лагранжа: [img: http://localhost:8080/file/051939-41.jpg] из к-рого следует формула Грина: [img: http://localhost:8080/file/051939-42.jpg] Если y(t), [img: http://localhost:8080/file/051939-43.jpg] - произвольные решения уравнений l(у)=0и [img: http://localhost:8080/file/051939-44.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051939-45.jpg] Знание [img: http://localhost:8080/file/051939-46.jpg] линейно независимых решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/051939-47.jpg] позволяет понизить порядок уравнения l(y) = 0 на. единиц (см. [1] - [3]). Для системы дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/051939-48.jpg] с непрерывной комплекснозначной [img: http://localhost:8080/file/051939-49.jpg] -матрицей A(t), сопряженная система определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/051939-50.jpg] (см. [1], [4]); здесь A*(t)- эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t). Тождество Лагранжа и формула Грина приобретают вид [img: http://localhost:8080/file/051939-51.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/051939-52.jpg] - скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат). Если x(t), [img: http://localhost:8080/file/051939-53.jpg] - произвольные решения уравнений L(x) = 0, [img: http://localhost:8080/file/051939-54.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051939-55.jpg] Понятие С. д. у. тесно связано с общим понятием сопряженного оператора. Если, напр., l - линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства С n (I) в пространство С(I)по формуле (1), то сопряженный дифференциальный оператор l* действует из пространства С*(I). сопряженного к С(I), в пространство С*(I), сопряженное к С n(I). Сужение оператора l* на пространство С n(I) определяется формулой (2) (см. [5]). С. д. у. определяется, кроме того, для линейного дифференциального уравнения с частными производными (см. [6], [5]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/051939-56.jpg] и Uk - линейные и линейно независимые функционалы на пространстве [img: http://localhost:8080/file/051939-57.jpg] Тогда сопряженная краевая з ад ача к линейной краевой задаче [img: http://localhost:8080/file/051939-58.jpg] определяется равенствами [img: http://localhost:8080/file/051939-59.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/051939-60.jpg] - линейные функционалы на пространстве [img: http://localhost:8080/file/051939-61.jpg] описывающие сопряженные краевые условия, т. е. определяемые так, чтобы равенство (см. Грина формулы) [img: http://localhost:8080/file/051939-62.jpg] выполнялось для любой пары функций [img: http://localhost:8080/file/051939-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051939-64.jpg] удовлетворяющей условиям Uk(y) =0, K=l,..., т, [img: http://localhost:8080/file/051939-65.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051939-66.jpg] - линейные формы переменных [img: http://localhost:8080/file/051939-67.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051939-68.jpg] - тоже линейные формы переменных. [img: http://localhost:8080/file/051939-69.jpg] Пример. Для задачи [img: http://localhost:8080/file/051939-70.jpg] с действительными [img: http://localhost:8080/file/051939-71.jpg] сопряженная краевая задача имеет вид [img: http://localhost:8080/file/051939-72.jpg] Если задача (2) имеет kлинейно независимых решений (в атом случае ранг краевой задачи r=n-k). то задача (3) имеет m-n+k линейно независимых решений (ее ранг r' = 2п- т-k). При т=п задачи (2), (3) имеют одинаковое число линейно независимых решений; поэтому при т=n задача (2) не имеет решений, кроме тривиального, в том и только в том случае, когда этим свойством обладает сопряженная краевая задача (3). Справедлива альтернатива Фредгольма: полуоднородная краевая задача l(y) = f(t), Uk(y)=0, k = l,..., п, имеет решение, если функция f(t)ортогональна ко всем нетривиальным решениям [img: http://localhost:8080/file/051939-73.jpg] сопряженной краевой задачи (3), т. е. [img: http://localhost:8080/file/051939-74.jpg] (см. [1] - [3], [7]). Для задачи о собственных значениях [img: http://localhost:8080/file/051939-75.jpg] сопряженной задачей о собственных значениях наз. задача [img: http://localhost:8080/file/051939-76.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051939-77.jpg] - собственное значение задачи (4), то [img: http://localhost:8080/file/051939-78.jpg] - собственное значение задачи (5). Собственные функции y(t), [img: http://localhost:8080/file/051939-79.jpg] отвечающие собственным значениям [img: http://localhost:8080/file/051939-80.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051939-81.jpg] задач (4) и (5) соответственно, ортогональны, если [img: http://localhost:8080/file/051939-82.jpg] (см. [1] - [3]): [img: http://localhost:8080/file/051939-83.jpg] Для линейной краевой задачи [img: http://localhost:8080/file/051939-84.jpg] где Uесть т-вектор-функционал на пространстве [img: http://localhost:8080/file/051939-85.jpg] непрерывно дифференцируемых комплексно-значных n-вектор-функций, т<2 п, сопряженная краевая задача определяется равенствами [img: http://localhost:8080/file/051939-86.jpg] (см. [1]); здесь U* есть (2 п-m)-вектор-функционал, определяемый так, чтобы равенство [img: http://localhost:8080/file/051939-87.jpg] выполнялось для любой пары функции [img: http://localhost:8080/file/051939-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051939-89.jpg] удовлетворяющей условиям [img: http://localhost:8080/file/051939-90.jpg] Задачи (0), (7) обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше (см. [1]). Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная краевая задача определяется также для линейной краевой задачи для уравнения с частными производными (см. [6], [7]).