Состоятельный критерий

- статистический критерий, достоверно отличающий проверяемую гипотезу от альтернативы при неограниченном увеличении числа наблюдений. Пусть X1, Х 2,..., Х n - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в выборочном пространстве [img: http://localhost:8080/file/051940-121.jpg] и пусть проверяется гипотеза [img: http://localhost:8080/file/051940-122.jpg] против альтернативы [img: http://localhost:8080/file/051940-123.jpg] при этом ошибка 1-го рода (см. Значимости уровень)задана заранее и равна [img: http://localhost:8080/file/051940-124.jpg] Далее, пусть по первым пнаблюдениям X1, Х 2,..., Х n построен статистич. критерий уровня [img: http://localhost:8080/file/051940-125.jpg] для проверки Н 0 против Н 1 и пусть [img: http://localhost:8080/file/051940-126.jpg] - его мощности критерия функция, покалывающая при каждом [img: http://localhost:8080/file/051940-127.jpg] с какой вероятностью этот критерий отклоняет Н 0, если случайная величина Xi подчиняется закону [img: http://localhost:8080/file/051940-128.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/051940-129.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/051940-130.jpg] Неограниченно увеличивая число наблюдений, можно построить последовательность статистич. критериев заданного уровня [img: http://localhost:8080/file/051940-131.jpg] предназначенных для проверки гипотезы Н 0 против альтернативы H1, при этом соответствующая им последовательность функций мощности [img: http://localhost:8080/file/051940-132.jpg] будет удовлетворять условию [img: http://localhost:8080/file/051940-133.jpg] для любого n при всех [img: http://localhost:8080/file/051940-134.jpg] Eсли в этих условиях последовательность функций мощности [img: http://localhost:8080/file/051940-135.jpg] такова, что для любого фиксированного [img: http://localhost:8080/file/051940-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051940-137.jpg] то говорят, что построена состоятельная последовательность статистич. критериев уровня [img: http://localhost:8080/file/051940-138.jpg] для проверки гипотезы H0 против альтернативы H1. Часто, допуская при этом определенную вольность, говорят, что построен С. к. Так как функция [img: http://localhost:8080/file/051940-139.jpg] являющаяся сужением функции мощности [img: http://localhost:8080/file/051940-140.jpg] на множество [img: http://localhost:8080/file/051940-141.jpg] есть мощность статистич. критерия, построенного по наблюдениям X1, Х 2,..., Х n, то в терминах мощности свойство состоятельности последовательности статистич. критериев выражается в том, что соответствующие им мощности [img: http://localhost:8080/file/051940-142.jpg] сходятся на [img: http://localhost:8080/file/051940-143.jpg] к функции, тождественно равной 1 на [img: http://localhost:8080/file/051940-144.jpg] Пример. Пусть X1, Х 2,..., Х n - независимые одинаково распределенные случайные величины, функция распределения к-рых принадлежит семейству Н={F(х)} всех непрерывных функций распределения на [img: http://localhost:8080/file/051940-145.jpg] и пусть р=(p1, р 2,..., pk) - вектор положительных вероятностей такой, что p1+р 2+...+pk=1. Далее, пусть F0(x) - произвольная функция распределения из семейства H. Функция распределения F0(x) и вектор роднозначно определяют разбиение числовой оси на. полуинтервалов (х 0; x1], (х 1; x2],..., (х k-1; xk], где [img: http://localhost:8080/file/051940-146.jpg] Иначе говоря, границы полуинтервалов суть квантили функции распределения F0(x). С помощью полуинтервалов (х 0; x1], (х 1; x2],..., (х k-1; xk] семейство H можно разбить на два непересекающихся множества Н 0 и H1 по следующему правилу: функция распределения Fиз H принадлежит Н 0 тогда и только тогда, если [img: http://localhost:8080/file/051940-147.jpg] в противном случае [img: http://localhost:8080/file/051940-148.jpg] Пусть, далее, vn=(vnl, vn2,..., vnk) - вектор частот, получающийся в результате группировки первых пслучайных величин Х 1, Х 2,..., Х n (n>k) по полуинтервалам (х 0; x1], (х 1; x2],..., (х k-1; xk), этих условиях для проверки гипотезы Н 0, согласно к-рой функция распределения случайных величин X1, Х 2,..., Xn принадлежит множеству Н 0, против альтернативы H1, по к-рой функция распределения случайных величин Х 1, Х 2,..., Х n принадлежит множеству H1, можно воспользоваться критерием лхи-квадрат