Сохоцкого формулы

- формулы, найденные впервые Ю. В. Сохоцким [1] и выражающие граничные значения интеграла типа Коши. С более полными доказательствами, но значительно позже С. ф. были получены независимо Й. Племелем [2]. Пусть Г: t=t(s), [img: http://localhost:8080/file/051940-173.jpg] t(0)=t(l), - замкнутая гладкая жордаиова кривая на плоскости комплексного неременного [img: http://localhost:8080/file/051940-174.jpg] - заданная на Г комплексная плотность интеграла типа Коши, относительно к-рой предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера [img: http://localhost:8080/file/051940-175.jpg] D+ - область внутри Г, D -- внешняя область; [img: http://localhost:8080/file/051940-176.jpg] - интеграл типа Коши. Тогда для любой точки [img: http://localhost:8080/file/051940-177.jpg] существуют пределы [img: http://localhost:8080/file/051940-178.jpg] к-рые выражаются формулами Сохоцкого [img: http://localhost:8080/file/051940-179.jpg] или, иначе, [img: http://localhost:8080/file/051940-180.jpg] Интеграл вдоль Г в правых частях С. ф. понимается в смысле главного значения по Коши и наз. сингулярным интегралом. Таким образом, принимая при высказанных условиях Ф+(t)(или Ф -(t)) в качестве значений интеграла Ф(z) на Г, получают функцию Ф(z), непрерывную в замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/051940-181.jpg] (соответственно в [img: http://localhost:8080/file/051940-182.jpg] в целом Ф(z) иногда описывают как кусочно аналитич. цию. Если [img: http://localhost:8080/file/051940-183.jpg] то Ф +(t)и Ф -(t) также непрерывны по Гёльдеру на Г с тем же показателем [img: http://localhost:8080/file/051940-184.jpg] а если [img: http://localhost:8080/file/051940-185.jpg] то с любым показателем [img: http://localhost:8080/file/051941-1.jpg] Для угловых точек t0 (см. рис.) кусочно гладкой кривой Г С. ф. принимают вид [img: http://localhost:8080/file/051941-2.jpg] В случае разомкнутой кусочно гладкой кривой Г С. ф. (2) и (3) остаются в силе для внутренних точек дуги Г. С. ф. играют основную роль при решении граничных задач теории функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [3], [5]), а также при решении различных прикладных задач теории функций (см. [4]). [img: http://localhost:8080/file/051941-3.jpg] Естественно возникает вопрос о возможном расширении условий на контур Г и плотность [img: http://localhost:8080/file/051941-4.jpg] с тем, чтобы С. ф., хотя бы с нек-рыми оговорками, сохраняли силу. Наиболее значительные результаты в этом направлении принадлежат В. В. Голубеву и И. И. Привалову (см. [6], [8]). Напр., пусть Г - спрямляемая жорданова кривая, а плотность [img: http://localhost:8080/file/051941-5.jpg] по-прежнему непрерывна по Гёльдеру на Г. Тогда С. ф. (2) имеют место почти всюду на Г, причем под Ф +(t0) и Ф -(t0) понимаются угловые граничные значения интеграла типа Коши соответственно изнутри и извне Г, но функции Ф +(z) и Ф - (z), вообще говоря, уже не непрерывны в замкнутых областях [img: http://localhost:8080/file/051941-6.jpg] О пространственных аналогах С. ф. см. в [7].