Спектральное разложение

линейного оператора - представление оператора в виде интеграла по спектральной мере(спектральной функции). Для любого самосопряженного оператора Тв гильбертовом пространстве Нсуществует такая спектральная функция [img: http://localhost:8080/file/051943-138.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/051943-139.jpg] Это означает, что [img: http://localhost:8080/file/051943-140.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/051943-141.jpg] Спектральная функция самосопряженного оператора Тможет быть вычислена через его резольвенту [img: http://localhost:8080/file/051943-142.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/051943-143.jpg] Из теоремы о С. р. самосопряженного оператора следует возможность реализации самосопряженных операторов операторами умножения и существование функционального исчисления на борелевских функциях. Используя С. р. самосопряженного оператора и теорию расширений с выходом из пространства (см. [2]), можно получить интегральное представление симметрического оператора через обобщенную спектральную функцию. Аналогично строится интегральное представление изометрических операторов. При этом аналогия между С. р. самосопряженных и унитарных операторов, с одной стороны, и интегральными представлениями симметрических и изометрических - с другой, далеко не полная (отсутствие единственности обобщенных спектральных функций, отсутствие сильной сходимости интегралов, сравнительная узость функционального исчисления и т. п.). Для любого ограниченного нормального оператора Т в гильбертовом пространстве Н существует такая счетно аддитивная в сильной операторной топологии самосопряженная спектральная мера [img: http://localhost:8080/file/051943-144.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/051943-145.jpg] -алгебре борелевских подмножеств комплексной плоскости, что [img: http://localhost:8080/file/051943-146.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/051944-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051944-2.jpg] Эта теорема допускает следующую удобную переформулировку: всякий ограниченный нормальный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на нек-рую существенно ограниченную функцию в пространстве [img: http://localhost:8080/file/051944-3.jpg] причем мера [img: http://localhost:8080/file/051944-4.jpg] может быть выбрана коночной, если пространство сепарабельно. Из теоремы о С. р. следует существование функционального исчисления от нормального оператора, т. е. гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/051944-5.jpg] алгебры существенно ограниченных борелевских функций на [img: http://localhost:8080/file/051944-6.jpg] в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего условию id(T)=T и переводящего всякую ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функций в сильно сходящуюся последовательность операторов. Образ этого гомоморфизма (т. е. множество всех функций от оператора Т)совпадает с множеством всех операторов, перестановочных с каждым оператором, перестановочным с Т. Поскольку из существования функционального исчисления, в свою очередь, следует теорема о С. р., этот результат можно считать одной из форм спектральной теоремы. Теорема о С. р. обобщается и на неограниченные нормальные операторы (см. [2]). Спектральная мера в случае С. р. унитарного оператора - частного случая нормального оператора - может быть задана на единичной окружности. С. р. унитарного оператора Vиногда записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/051944-7.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051944-8.jpg] - спектральная функция, сосредоточенная на отрезке [img: http://localhost:8080/file/051944-9.jpg] Таким образом, С. р. дает возможность представить унитарный оператор в виде ехр iA, где А- самосопряженный оператор. Этот результат обобщает теорема Стоуна: всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде [img: http://localhost:8080/file/051944-10.jpg] где А - самосопряженный (возможно, неограниченный) оператор.