Спектральные гомологии

- обратный предел [img: http://localhost:8080/file/051944-132.jpg] групп гомологии с коэффициентами в абелевой группе Gнервов открытых покрытий [img: http://localhost:8080/file/051944-133.jpg] топологии, пространства X(они наз. также гомологиями Чеха, или Александрова - Чеха). Для замкнутого множества [img: http://localhost:8080/file/051944-134.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/051944-135.jpg] могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем [img: http://localhost:8080/file/051944-136.jpg] всех тех множеств из [img: http://localhost:8080/file/051944-137.jpg] к-рые имеют непустое пересечение с А. Обратный предел групп пар [img: http://localhost:8080/file/051944-138.jpg] G) наз. группой С. г. [img: http://localhost:8080/file/051944-139.jpg] пары (X, А). Поскольку функтор обратного предела не сохраняет точность, гомологич. последовательность пары (X, А)вобщем случае не точна. Она полуточна в том смысле, что композиция любых двух отображений равна нулю. Для компактных Xпоследовательность оказывается точной в случае, когда G - компактная группа или иоле (в более общей ситуации - когда группа Gалгебраически компактна). С. г. непрерывны в том смысле, что [img: http://localhost:8080/file/051944-140.jpg] Отсутствие точности - не единственный недостаток С. г. Группы [img: http://localhost:8080/file/051944-141.jpg] оказываются неаддитивными в том смысле, что гомологии дискретного объединения [img: http://localhost:8080/file/051944-142.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051944-143.jpg] могут отличаться от прямой суммы [img: http://localhost:8080/file/051944-144.jpg] G). От этого недостатка свободны спектральные гомологии [img: http://localhost:8080/file/051944-145.jpg] с компактными носителями, определяемые как прямой предел [img: http://localhost:8080/file/051944-146.jpg] взятый по всем компактным подмножествам [img: http://localhost:8080/file/051944-147.jpg] Естественность функтора [img: http://localhost:8080/file/051944-148.jpg] подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (симплициальные, клеточные, сингулярные) - это гомологии с компактными носителями. Несовпадение функторов [img: http://localhost:8080/file/051944-149.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051944-150.jpg] - один из примеров того, как гомологии реагируют на логич. нюансы в их исходном определении (наоборот, когомологии проявляют в этом отношении значительную устойчивость). Среди логически возможных вариантов определения гомологии в общих категориях топологич. пространств правильный был отобран не сразу, в связи с чем ассоциированная с когомологиямв Александрова - Чеха теория гомологии [img: http://localhost:8080/file/051944-151.jpg] стала распространяться лишь в 60-е гг. (хотя первые определения были даны в 40-50-х гг.). Теория [img: http://localhost:8080/file/051944-152.jpg] удовлетворяет всем Стинрода - Эйленберга аксиомам (и является теорией с компактными носителями). Для компактных Xимеет место точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/051944-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051944-154.jpg] - производный функтор обратного предела). В общем случае имеется эпиморфизм [img: http://localhost:8080/file/051944-155.jpg] к-рый имеет нулевое ядро для любой алгебраически компактной группы G. Для любого гомологически локально связного (по отношению к [img: http://localhost:8080/file/051944-156.jpg] локально компактного пространства функторы [img: http://localhost:8080/file/051944-157.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051944-158.jpg] изоморфны.