Спектральный оператор

- ограниченный линейный оператор А, отображающий банахово пространство Xв себяи такой, что для [img: http://localhost:8080/file/051945-47.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/051945-48.jpg] борелевских множеств [img: http://localhost:8080/file/051945-49.jpg] на плоскости существует разложение единицы [img: http://localhost:8080/file/051945-50.jpg] со свойствами: 1) для любого [img: http://localhost:8080/file/051945-51.jpg] проектор [img: http://localhost:8080/file/051945-52.jpg] приводит А, т. с. [img: http://localhost:8080/file/051945-53.jpg] и спектр [img: http://localhost:8080/file/051945-54.jpg] лежит в [img: http://localhost:8080/file/051945-55.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051945-56.jpg] - сужение оператора Ана инвариантное подпространство [img: http://localhost:8080/file/051945-57.jpg] 2) отображение [img: http://localhost:8080/file/051945-58.jpg] есть гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051945-59.jpg] в булеву алгебру [img: http://localhost:8080/file/051945-60.jpg] 3) все проекторы [img: http://localhost:8080/file/051945-61.jpg] ограничены, т. е. [img: http://localhost:8080/file/051945-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051945-63.jpg] разложение единицы [img: http://localhost:8080/file/051945-64.jpg] счетно аддитивно в сильной топологии пространства X, т. о. для любого [img: http://localhost:8080/file/051945-65.jpg] и любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/051945-66.jpg] состоящей из попарно непересекающихся множеств, [img: http://localhost:8080/file/051945-67.jpg] Понятие С. о. можно распространить на неограниченные замкнутые операторы. При этом в 1) надо дополнительно потребовать, чтобы выполнялось включение [img: http://localhost:8080/file/051945-68.jpg] где D(А)- область определения оператора А, и [img: http://localhost:8080/file/051945-69.jpg] для ограниченных [img: http://localhost:8080/file/051945-70.jpg] С. о. являются все линейные операторы в конечномерном пространстве, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве, напр. оператор [img: http://localhost:8080/file/051945-71.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/051945-72.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/051945-73.jpg] если ядро К(t, s) есть преобразование Фурье борелевской меры m на плоскости с полной вариацией var [img: http://localhost:8080/file/051945-74.jpg] и такое, что [img: http://localhost:8080/file/051945-75.jpg] суть ограниченные линейные операторы в [img: http://localhost:8080/file/051945-76.jpg] С. о. обладают рядом важных свойств, напр.: [img: http://localhost:8080/file/051945-77.jpg] в случае сепарабельного Xточечный и остаточный спектры Ане более чем счетны и др.