Спектр кольца

- окольцованное топология, пространство Spec А, точками к-рого являются простые идеалы [img: http://localhost:8080/file/051941-120.jpg] кольца Ас Зариского топологией на нем (к-рая наз. также спектральной топологией). При атом предполагается, что кольцо Акоммутативно и с единицей. Элементы кольца А можно рассматривать как функции на пространстве Spec A, полагая [img: http://localhost:8080/file/051941-121.jpg] Пространство Spec Aнесет пучок локальных колец [img: http://localhost:8080/file/051941-122.jpg] (Spec А), называемый структурным пучком. Для точки [img: http://localhost:8080/file/051941-123.jpg] слой пучка [img: http://localhost:8080/file/051941-124.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/051941-125.jpg] - это локализация [img: http://localhost:8080/file/051941-126.jpg] кольца Аотносительно [img: http://localhost:8080/file/051941-127.jpg] Любому гомоморфизму колец [img: http://localhost:8080/file/051941-128.jpg], переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/051941-129.jpg] Если N - нильрадикал кольца А, то естественное отображение [img: http://localhost:8080/file/051941-130.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-131.jpg] является гомеоморфизмом топологич. пространств. Для ненильпотентного ялемента [img: http://localhost:8080/file/051941-132.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/051941-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051941-135.jpg] Тогда окольцованные пространства D(f) и Spec A(f), где А (f) - локализация Аотносительно f, изоморфны. Множества D(f) наз. главными открытыми множествами. Они образуют базис топологич. пространства Spec A. Точка [img: http://localhost:8080/file/051941-136.jpg] замкнута тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/051941-137.jpg] - максимальный идеал кольца А. Сопоставляя точке [img: http://localhost:8080/file/051941-138.jpg] ее замыкание [img: http://localhost:8080/file/051941-139.jpg] в Spec A, получают взаимно однозначное соответствие между точками пространства Spec Аи множеством замкнутых неприводимых подмножеств в Spec A. Пространство Spec Aквазикомпактно, но, как правило, не является хаусдорфовым. Размерностью пространства Spec Aназ. наибольшее п, для к-рого существует цепояка различных замкнутых неприводимых множеств [img: http://localhost:8080/file/051941-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-141.jpg] Многие свойства кольца Аможно охарактеризовать в терминах топологич. пространства Spec A. Напр., кольцо Анётерово тогда и только тогда, когда Spec A - нётерово пространство; пространство Spec Анеприводимо тогда и только тогда, когда кольцо A/N является областью целостности; размерность Spec Асовпадает с размерностью Крулля кольца Аи т. д. Иногда рассматривают максимальный спектр Specm A - подпространство пространства Spec А, состоящее из замкнутых точек. Для градуированного кольца Арассматривают также проективный спектр Proj A. Если [img: http://localhost:8080/file/051941-142.jpg] то точки Proj A- это простые однородные идеалы [img: http://localhost:8080/file/051941-143.jpg] кольца Атакие, что [img: http://localhost:8080/file/051941-144.jpg]