Спинорное представление

простейшее точное линейное представление спинорной группы,Spinn(Q) или определяющее его линейное представление объемлющей четной алгебры Клиффорда С +=-С +(Q). Если основное поле. алгебраически замкнуто, то алгебра С+ изоморфна полной матричной алгебре [img: http://localhost:8080/file/051946-76.jpg] (при n=2m+l) или алгебре [img: http://localhost:8080/file/051946-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-78.jpg] (при п=2т). Тем самым определено линейное представление r алгебры С + в пространстве размерности 2 т над K, к-рое наз. спинорным. Ограничение [img: http://localhost:8080/file/051946-79.jpg] наз. С. п. группы Spinn(Q). С. п. при нечетном пнеприводимо, а при четном n распадается в прямую сумму двух неэквивалентных неприводимых представлений [img: http://localhost:8080/file/051946-80.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-81.jpg] к-рые наз. полуспинорными. Элементы пространства С. и. наз. спинорами, а полуспинорных - полуспинорами. С. п. спинорной группы Spinn caмоконтрагредиентно при любом [img: http://localhost:8080/file/051946-82.jpg] полуспинорные представления [img: http://localhost:8080/file/051946-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-84.jpg] спинорной группы Spin2m caмоконтрагредиентны при четном. и контрагредиентны друг другу при нечетном т. С. п. группы Spinn точно при любом [img: http://localhost:8080/file/051946-85.jpg] полуспинорные представления группы Spin2m точны при нечетном. и имеют ядро, состоящее из двух элементов, при четном m. Если квадратичная форма Qзадана в пространство Vнад нек-рым подполем [img: http://localhost:8080/file/051946-86.jpg] то С. п. не всегда определено над k. Однако, если индекс Витта квадратичной формы Qмаксимален, то есть равен [n/2] (в частности, если поле kалгебраически замкнуто), то спинорное и полуспинорные представления определены над k. В этом случае указанные представления могут быть описаны следующим образом (см. [1]). Пусть Lи М - непересекающиеся определенные над kмаксимальные вполне изотропные (относительно симметрической билинейной формы в V, ассоциированной с квадратичной формой Q) подпространства в V, CL- подалгебра в алгебре Клиффорда C=C(Q), порожденная подпространством [img: http://localhost:8080/file/051946-87.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-88.jpg] - произведение твекторов, составляющих определенный над kбазис пространства М. Если n=2тчетно, то С. п. реализуется в простом левом идеале Се M и действует там с помощью левых сдвигов: [img: http://localhost:8080/file/051946-89.jpg] Далее соответствие [img: http://localhost:8080/file/051946-90.jpg] определяет изоморфизм векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/051946-91.jpg] что позволяет реализовать С. п. в пространстве CL, естественно изоморфном внешней алгебре над пространством L. При этом полуспинорные представления [img: http://localhost:8080/file/051946-92.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-93.jpg] реализуются в инвариантных 2m-1 -мерных подпространствах [img: http://localhost:8080/file/051946-94.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-95.jpg] Если пнечетно, то пространство. можно включить в (n+1)-мерное векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/051946-96.jpg] над kиопределить в V1 квадратичную форму Q1, положив [img: http://localhost:8080/file/051946-97.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/051946-98.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051946-99.jpg] При этом Q1 -определенная над kневырожденная квадратичная форма максимального индекса Витта на четномерном векторном пространстве V1. С. п. алгебры С +(Q) (группы Spinn (Q) получается путем ограничения любого пз полуспинорных представлений алгебры С +(Q1) (группы Spinn+1(Q1)) на подалгебру C+(Q) (соответственно подгруппу Spinn(Q). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/051946-100.jpg] " a k- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, решена задача классификации спиноров (см. [4], [8]. [9]), к-рая состоит в 1) описании всех орбит группы r (Spinn) в пространстве спиноров, т. е. указании в каждой орбите нек-рого единственного представителя, 2) вычислении стабилизаторов группы Spinn в каждом из этих представителей, 3) описании алгебры инвариантов линейной группы [img: http://localhost:8080/file/051946-101.jpg] Существование снинорных и полуспинорных представлений алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/051946-102.jpg] групп Spinn было открыто Э. Картаном (E. Cartau) в 1913, когда он классифицировал все неприводимые конечномерные представления простых алгебр Ли [6]. Впоследствии, в 1935 Р. Брауэр (R. Brauer) и Г. Вейль (Н. Wеyl) описали спинорные и полуспинорные представления в терминах алгебр Клиффорда [5]. П. Дирак (P. Dirac, [3]) обнаружил, что при помощи спиноров в квантовой механике описывается вращение электрона.