Сплайн-интерполяция

интерполирование посредством сплайнов, т. е. построение интерполяционного сплайна (и. с.), принимающего в заданных точках {xi}заданные значения {f(xi)}, i=0, 1,..., n. Обычно и. с. удовлетворяют дополнительным условиям в концевых точках. Так, для кубического сплайна [img: http://localhost:8080/file/051947-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051947-24.jpg] к-рый склеен на [ а, b]из кубических многочленов и имеет непрерывную 2-ю производную, требуют, чтобы [img: http://localhost:8080/file/051947-25.jpg] и, кроме того, задают по одному условию в концевых точках, напр. [img: http://localhost:8080/file/051947-26.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051947-27.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/051947-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051947-29.jpg] Если f(xi) - значения (b-a)-периодической функции, то требуют, чтобы сплайн был также (b-а)-периодическим. Для полиномиальных сплайнов степени 2k+l число дополнительных условий в каждой из точек а и b увеличивается до k. Для и. с. степени 2k обычно узлы сплайна (точки разрыва 2k-й производной) выбираются посредине между точками {xi} и задается еще по kусловий в точках а к b. С.-и. имеет нек-рые преимущества по сравнению с интерполированием многочленами; напр., существуют такие последовательности сеток [img: http://localhost:8080/file/051947-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051947-31.jpg] и и. с., для к-рых интерполяционный процесс сходится для любой непрерывной функции, если [img: http://localhost:8080/file/051947-32.jpg] Многие процессы С.-и. дают тот же порядок приближении, что и наилучшие приближения. Более того, при С.-и. нек-рых классов дифференцируемых функций погрешность не превосходит поперечника соответствующего класса. С.-и. дает решение нек-рых вариационных задач. Напр., и. с. при достаточно общих дополнительных условиях в точках а и b удовлетворяет соотношению [img: http://localhost:8080/file/051947-33.jpg] Из этого соотношения следует существование и единственность и. с. нечетной степени, а также простейшие результаты о сходимости: [img: http://localhost:8080/file/051947-34.jpg] i=0,1,..., т-1,где константа с i,т зависит только от i и m и [img: http://localhost:8080/file/051947-35.jpg] Для нек-рых классов дифференцируемых функций последовательность и. с. сходится к интерполируемой функции на любой последовательности сеток [img: http://localhost:8080/file/051947-36.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051947-37.jpg] напр., это имеет место в случае (2). Наряду с полиномиальными и. с. в С.-и. используются сплайны более общего вида (L-сплайны, Lq -сплайны). Для многих из них также справедливы аналоги равенства (1) и неравенств (2). Для сплайнов с дефектом, большим единицы, обычно рассматривается интерполирование с кратными узлами. См. также Сплайн-аппроксимация.