Спрямляемая кривая

- кривая, имеющая конечную длину. Пусть Г - непрерывная параметрич. кривая в трехмерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/051947-108.jpg] т. е. Г={x1=x1(t), x2=x2(t), x3=x3(t)}, [img: http://localhost:8080/file/051947-109.jpg] ~ где xk(t), k=l, 2, 3 - непрерывные на отрезке [img: http://localhost:8080/file/051947-110.jpg] функции, [img: http://localhost:8080/file/051947-111.jpg] - произвольное разбиение отрезка [img: http://localhost:8080/file/051947-112.jpg] и Aj(x1(tj), x2(tj), x3(tj)) - порожденная им последовательность точек на кривой Г. И пусть Г п - ломаная, вписанная в кривую Г и имеющая вершины в точках А 0, А1,..., А n. Длина этой ломаной [img: http://localhost:8080/file/051947-113.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051947-114.jpg] Величина [img: http://localhost:8080/file/051947-115.jpg] наз. длиной кривой Г. Длина s(Г) не зависит от способа параметризации кривой Г. Если [img: http://localhost:8080/file/051947-116.jpg] то кривая Г наз. спрямляемой кривойи. С. к. Г имеет касательную почти во всех своих точках A(x1(t),x2(t),x3(t)). т. е. почти при всех значениях параметра [img: http://localhost:8080/file/051947-117.jpg] Изучение С. к. было начато Л. Шеффером [1] и продолжено К. Жорданом [2], к-рый доказал, что кривая Г спрямляема тогда и только тогда, когда все три функции xk(t), k=l, 2, 3, являются ограниченной вариации функциями на отрезке [img: http://localhost:8080/file/051947-118.jpg]