Сравнение от нескольких переменных

сравнение вида [img: http://localhost:8080/file/051948-79.jpg] где f(x1,,..., х п) - многочлен от [img: http://localhost:8080/file/051948-80.jpg] переменных с целыми рациональными коэффициентами, не все из к-рых делятся на т. Разрешимость такого сравнения для составного модуля [img: http://localhost:8080/file/051948-81.jpg] где р 1,...,ps - различные простые числа, равносильна разрешимости сравнений [img: http://localhost:8080/file/051948-82.jpg] для всех i=l,..., s. При этом число Nрешений сравнения (1) равно произведению N1.. -.Ns, где Ni- число решений сравнения (2). Таким образом, при изучении сравнений вида (1) достаточно ограничиться модулями, являющимися степенями простых чисел. Для разрешимости сравнения [img: http://localhost:8080/file/051948-83.jpg] необходимо, чтобы было разрешимо сравнение [img: http://localhost:8080/file/051948-84.jpg] по простому модулю р. В невырожденных случаях разрешимость сравнения (4) является также и достаточным условием для разрешимости сравнения (3). Точнее, справедливо следующее утверждение: каждое решение [img: http://localhost:8080/file/051948-85.jpg] сравнения (4) такое, что [img: http://localhost:8080/file/051948-86.jpg] хотя бы для одного i=l, 2,..., ппорождает [img: http://localhost:8080/file/051948-87.jpg] решений [img: http://localhost:8080/file/051948-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051948-89.jpg] сравнения (3), причем [img: http://localhost:8080/file/051948-90.jpg] при i=l, 2,...,n. Итак, в невырожденном случае вопрос о числе решений сравнения (1) по составному модулю тсводится к вопросу о числе решений сравнений вида (4) по простым модулям р, делящим т. Если f(x1,..., х п) - абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами, то для числа N р решений сравнения (4) имеет место оценка [img: http://localhost:8080/file/051948-91.jpg] где константа С(f) зависит только от многочлена f и не зависит от р. Из этой оценки, в частности, следует, что сравнение (4) разрешимо для всех простых р, больших нек-рой эффективно вычислимой константы С 0(f), зависящей от данного многочлена f(x1,,..., х п) (см. также Сравнение по простому модулю). Более сильный результат в этом вопросе получен П. Делинем [3].