Сравнение топологий

- отношение порядка в множестве всех топологий в одном и том же множестве. Топология [img: http://localhost:8080/file/051948-116.jpg] мажорирует топологию [img: http://localhost:8080/file/051948-117.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/051948-118.jpg] не слабее [img: http://localhost:8080/file/051948-119.jpg] если тождественное отображение [img: http://localhost:8080/file/051948-120.jpg] где Xi - множество X, наделенное топологией [img: http://localhost:8080/file/051948-121.jpg] i=l, 2, непрерывно. Если, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/051948-122.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051948-123.jpg] сильнее [img: http://localhost:8080/file/051948-124.jpg] (а [img: http://localhost:8080/file/051948-125.jpg] слабее [img: http://localhost:8080/file/051948-126.jpg] Следующие предложения равносильны. 1) [img: http://localhost:8080/file/051948-127.jpg] мажорирует [img: http://localhost:8080/file/051948-128.jpg] 2) Каково бы ни было [img: http://localhost:8080/file/051948-129.jpg] всякая окрестность хв топологии [img: http://localhost:8080/file/051948-130.jpg] есть окрестность хв топологии [img: http://localhost:8080/file/051948-131.jpg] 3) Для любого [img: http://localhost:8080/file/051948-132.jpg] замыкание Ав топологии [img: http://localhost:8080/file/051948-133.jpg] индуцирует замыкание Ав топологии [img: http://localhost:8080/file/051948-134.jpg] 4) Всякое множество из X, замкнутое в [img: http://localhost:8080/file/051948-135.jpg] замкнуто и в [img: http://localhost:8080/file/051948-136.jpg] 5) Всякое множество, открытое в [img: http://localhost:8080/file/051948-137.jpg] открыто и в [img: http://localhost:8080/file/051948-138.jpg] В упорядоченном множестве топологий на Xдискретная топология самая сильная, а топология, единственными замкнутыми множествами к-рой являются Ф и Х, самая слабая. Говоря образно, чем топология сильнее, тем больше в Xоткрытых множеств, замкнутых множеств, окрестностей; замыкание (соответственно, внутренность) множества тем меньше (соответственно, больше), чем топология сильнее, и тем меньше всюду плотных множеств. М. И. Войцеховский.