Стабильные и нестабильные теории

- раздел моделей теории, изучающий стабильность элементарных теорий. Пусть Т - полная теория первого порядка сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-118.jpg] А - модель теории Ти [img: http://localhost:8080/file/051949-119.jpg] Сигнатура [img: http://localhost:8080/file/051949-120.jpg] получается из [img: http://localhost:8080/file/051949-121.jpg] добавлением символов с а выделенных элементов для всех [img: http://localhost:8080/file/051949-122.jpg] Система <А, X> имеет сигнатуру [img: http://localhost:8080/file/051949-123.jpg] и является обогащением модели А, в к-ром с а интерпретируется как адля всех [img: http://localhost:8080/file/051949-124.jpg] Теория Т(А, X)представляет собой совокупность истинных в <A, X> формул сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-125.jpg] Множество максимальных, совместных с Т(А, X), множеств формул сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-126.jpg] не содержащих свободных переменных, отличных от нек-рого фиксированного v0, обозначается через S(А, X). Теория Тиаз. стабильной в мощности [img: http://localhost:8080/file/051949-127.jpg] если для любой модели Атеории Ти любого [img: http://localhost:8080/file/051949-128.jpg] мощность к-рого не превосходит [img: http://localhost:8080/file/051949-129.jpg] мощность S(А, X)также но превосходит [img: http://localhost:8080/file/051949-130.jpg] Теория наз. стабильной, если она стабильна хотя бы в одной бесконечной мощности. Пусть | Т| обозначает мощность множества формул сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-131.jpg] Если теория Тстабильна, то она стабильна во всех мощностях, удовлетворяющих равенству [img: http://localhost:8080/file/051949-132.jpg] Если теория Тстабильна, то существуют модель Атеории. и бесконечное множество [img: http://localhost:8080/file/051949-133.jpg] такие, что для любой формулы [img: http://localhost:8080/file/051949-134.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-135.jpg] и для любых двух последовательностей <a1,..., а n> <b1,..., bn> различных элементов множества Yистинность [img: http://localhost:8080/file/051949-136.jpg] в Аэквивалентна истинности [img: http://localhost:8080/file/051949-137.jpg] в А; при этом множество Y наз. множеством неразличимых в Тэлементов. Оказывается, что характеристич. свойством нестабильных теорий является существование множества, имеющего в определенном смысле противоположные свойства. А именно, нестабильность теории Тэквивалентна существованию формулы [img: http://localhost:8080/file/051949-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051949-139.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-140.jpg] модели Атеории Ти последовательности [img: http://localhost:8080/file/051949-141.jpg]... наборов элементов Атаких, что истинность [img: http://localhost:8080/file/051949-142.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051949-143.jpg] в Аравносильна неравенству i<j. Поэтому нестабильны полные расширения теории линейно упорядоченных множеств, имеющие бесконечные модели, а также теория любой бесконечной булевой алгебры. В частности, нестабильна теория натуральных чисел со сложением и теория поля действительных чисел. Если теория Тнестабильна, то число типов изоморфизма моделей Тв каждой несчетной мощности [img: http://localhost:8080/file/051949-144.jpg] равно [img: http://localhost:8080/file/051949-145.jpg] Поэтому теория Т, категоричная в несчетной мощности [img: http://localhost:8080/file/051949-146.jpg] стабильна. Существуют, однако, стабильные теории, не категоричные ни в какой бесконечной мощности. Такова теория T1, сигнатура к-рой состоит из одноместного предиката и счетного множества выделенных элементов. Аксиомы этой теории утверждают, что предикат истинен на выделенных элементах и делит каждую модель T1 на два бесконечных множества, а также что выделенные элементы не равны между собой. Теории конечной или счетной сигнатуры, стабильные в счетной мощности, наз. также тотально трансцендентными. Всякая тотально трансцендентная теория стабильна во всех бесконечных мощностях. Всякая категоричная в несчетной мощности теория конечной или счетной сигнатуры является тотально трансцендентной. Упомянутая выше теория T1 тотально трансцендентна. Тотально трансцендентные теории можно характеризовать и в других терминах. Пусть Т- полная теория конечной или счетной сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-147.jpg] А - бесконечная модель теории Т. Формуле [img: http://localhost:8080/file/051949-148.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-149.jpg] припишем ранг -1, если она ложна на всех элементах модели <A, |A|>, и ранг [img: http://localhost:8080/file/051949-150.jpg] - ординал), если ей не приписан никакой ранг, меньший [img: http://localhost:8080/file/051949-151.jpg] но для каждого элементарного расширения Всистемы Аи для каждой формулы [img: http://localhost:8080/file/051949-152.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-153.jpg] одной из формул [img: http://localhost:8080/file/051949-154.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/051949-155.jpg] приписан ранг, меньший [img: http://localhost:8080/file/051949-156.jpg] Теория Ттогда и только тогда является тотально трансцендентной, когда для каждой модели Атеории Ткаждой формуле [img: http://localhost:8080/file/051949-157.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051949-158.jpg] приписан нек-рый ранг.