Степенной ряд

1)С. р. по одному комплексному переменному z - функциональный ряд вида [img: http://localhost:8080/file/051956-44.jpg] где a - центр ряда, bk - его коэффициенты, bk(z-a)k - члены ряда. Существует число r, [img: http://localhost:8080/file/051956-45.jpg] называемое радиусом сходимости С. р. (1) и определяемое по формуле Коши - Адамара [img: http://localhost:8080/file/051956-46.jpg] такое, что при |z-а|<r ряд (1) абсолютно сходится, а при |z- а|>r - расходится (теорема Коши - Адамара). В связи с этим круг [img: http://localhost:8080/file/051956-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-48.jpg] на плоскости [img: http://localhost:8080/file/051956-49.jpg] комплексного переменного z наз. кругом сходимости С. р. (см. рис. 1). В случае r=0 круг сходимости вырождается в единственную точку z=a, напр. для С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-50.jpg] (этот случай интереса не представляет, и всюду в дальнейшем предполагается, что r>0). В случае [img: http://localhost:8080/file/051956-51.jpg] круг сходимости совпадает со всей плоскостью [img: http://localhost:8080/file/051956-52.jpg] напр. для С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-53.jpg] Множество сходимости, т. е. совокупность всех точек сходимости С. р. (1), в случае [img: http://localhost:8080/file/051956-54.jpg] кроме точек круга сходимости D, может включать все или нек-рые точки, или ни одной точки окружности сходимости [img: http://localhost:8080/file/051956-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-56.jpg] Круг сходимости в этом случае есть внутренность множества точек абсолютной сходимости С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-57.jpg] Внутри круга D, т. е. на любом компакте [img: http://localhost:8080/file/051956-58.jpg] С. р. (1) сходится абсолютно и равномерно. Таким образом, сумма ряда s(z) определена и является регулярной аналитич. цией по крайней мере в круге D. При этом на окружности Sона имеет по меньшей мере одну особую точку, аналитич. родолжение в к-рую суммы s(z) невозможно. Существуют С. р., имеющие на Sв точности одну особую точку, равно как н С. р., у к-рых вся окружность Sсостоит из особых точек. В случае [img: http://localhost:8080/file/051956-59.jpg] ряд (1) либо обрывается, т. е. представляет собой многочлен [img: http://localhost:8080/file/051956-60.jpg] либо его сумма s(z) есть целая трансцендентная функция, регулярная во всей плоскости [img: http://localhost:8080/file/051956-61.jpg] и имеющая в бесконечности существенно особую точку. Обратно, само понятие аналитичности функции f(z) в точке асостоит в том, что f(z) в нек-рой окрестности аразлагается в С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-62.jpg] к-рый является для f(z) рядом Тейлора, т. е. его коэффициенты определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/051956-63.jpg] В связи с этим важно свойство единственности С. р.: если сумма s(z)ряда (1) обращается в нуль на бесконечном множестве [img: http://localhost:8080/file/051956-64.jpg] имеющем предельную точку внутри D, то [img: http://localhost:8080/file/051956-65.jpg] и все bk=-0, k=0, 1,... В частности, если s(z)=0 в окрестности нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/051956-66.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051956-67.jpg] и все bk=0. Таким образом, всякий С. р. есть ряд Тейлора для своей суммы. Пусть наряду с С. р. (1) имеется другой С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-68.jpg] с тем же центром аи радиусом сходимости r1>0. Тогда по крайней мере в круге [img: http://localhost:8080/file/051956-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-70.jpg] имеют смысл сложение, вычитание и умножение С. р. (1) и (3) по формулам: [img: http://localhost:8080/file/051956-71.jpg] Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности справедливы, причем вычитание есть действие, обратное сложению. Таким образом, множество С. р. с положительными радиусами сходимости и фиксированным центром есть кольцо над полем С. Если [img: http://localhost:8080/file/051956-72.jpg] то возможно и деление С. р.: [img: http://localhost:8080/file/051956-73.jpg] причем коэффициенты dk однозначно определяются из бесконечной системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/051956-74.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/051956-75.jpg] r>0 и r1>0 радиус сходимости ряда (5) также положительный. Пусть для простоты в (1) и (3) [img: http://localhost:8080/file/051956-76.jpg] Тогда сложная функция [img: http://localhost:8080/file/051956-77.jpg] будет регулярной в окрестности начала координат, и процедура разложения ее в С. р. носит название подстановки ряда в ряд: [img: http://localhost:8080/file/051956-78.jpg] Коэффициент gm в(6) получается как сумма одноименных коэффициентов в разложениях каждой из функций [img: http://localhost:8080/file/051956-79.jpg] а эти последние разложения получаются путем n-кратного умножения ряда для [img: http://localhost:8080/file/051956-80.jpg] самого на себя. Ряд (6) заведомо сходится при [img: http://localhost:8080/file/051956-81.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-82.jpg] таково, что [img: http://localhost:8080/file/051956-83.jpg] Пусть опять [img: http://localhost:8080/file/051956-84.jpg] и, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/051956-85.jpg] Задача построения ряда для обратной функции [img: http://localhost:8080/file/051956-86.jpg] к-рая при указанных условиях регулярна в окрестности начала, наз. обращением ряда (3). Ее решением является ряд Лагранжа: [img: http://localhost:8080/file/051956-87.jpg] (о более общей задаче обращения см. в ст. Бюрмана- Лагранжа ряд). Если С. р. (1) сходится в нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/051956-88.jpg] то он абсолютно сходится для всех z таких, что |z-а|< |z0 -а|,- в этом состоит первая теорема Абеля. Эта теорема также позволяет установить вид области сходимости С. р. Более тонкий результат представляет собой вторая теорема Aбeля: если С. р. (1) сходится в точке [img: http://localhost:8080/file/051956-89.jpg] на окружности сходимости S, то [img: http://localhost:8080/file/051956-90.jpg] т. е. сумма ряда s(z) в точке [img: http://localhost:8080/file/051956-91.jpg] имеет радиальное граничное значение s(z0)и, следовательно, непрерывна вдоль радиуса [img: http://localhost:8080/file/051956-92.jpg] более того, s(z)имеет и угловое граничное значение s(z0). Эту теорему (1827) можно считать первым крупным результатом в направлении исследования граничных свойств С. р. Обращение второй теоремы Абеля без дополнительных ограничений на коэффициенты С. р. невозможно. Однако, если предположить, напр., что bk=0(1/k)и существует предел [img: http://localhost:8080/file/051956-93.jpg] то ряд [img: http://localhost:8080/file/051956-94.jpg] сходится к сумме s0. Такого рода частичные обращения второй теоремы Абеля получили название тауберовых теорем. Другие результаты о граничных свойствах С. р. и, в частности, о расположении особых точек С. р. см. в статьях Адамара теорема, Аналитическое продолжение, Граничные свойства аналитических функций, Фату теорема (см. также [3] - [5]). 2) С. р. по многим комплексным переменным z=(z1,.... zn), n>1, или кратный С. р.- функциональный ряд вида [img: http://localhost:8080/file/051956-95.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-97.jpg] - центр ряда, точка комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/051956-98.jpg] Областью сходимости DС. р. (7) наз. внутренность множества точек абсолютной сходимости, но при п>1 она не имеет столь простого вида, как при n=1. Область Dпространства [img: http://localhost:8080/file/051956-99.jpg] тогда и только тогда является областью сходимости нек-рого С. р. (7), когда D - логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства [img: http://localhost:8080/file/051956-100.jpg] Если нек-рая точка [img: http://localhost:8080/file/051956-101.jpg] то замыкание [img: http://localhost:8080/file/051956-102.jpg] поликруга [img: http://localhost:8080/file/051956-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-104.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-105.jpg] r=(r1,..., rn), также принадлежит Dи ряд (7) сходится в [img: http://localhost:8080/file/051956-106.jpg] абсолютно и равномерно (аналог первой теоремы Абеля). Поликруг U(a, r), r=(r1,..., rn), наз. поликругом сходимости С. р. (7), если [img: http://localhost:8080/file/051956-107.jpg] но в любом несколько большем поликруге [img: http://localhost:8080/file/051956-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-109.jpg] и по крайней мере одно неравенство строгое, имеются точки, в к-рых ряд (7) расходится. Радиусы [img: http://localhost:8080/file/051956-110.jpg] поликруга сходимости наз. сопряженными радиусами сходимости С. р. (7), они удовлетворяют соотношению, являющемуся аналогом формулы Коши - Адамара: [img: http://localhost:8080/file/051956-111.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051956-112.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-113.jpg] Область сходимости Dисчерпывается поликругами сходимости. Напр., для ряда [img: http://localhost:8080/file/051956-114.jpg] поликруги сходимости имеют вид [img: http://localhost:8080/file/051956-115.jpg] а область сходимости [img: http://localhost:8080/file/051956-116.jpg] (на рис. 2 она изображена на абсолютной четверть-плоскости). [img: http://localhost:8080/file/051956-117.jpg] Свойство единственности С. р. сохраняется в том смысле, что если s(z) = 0 в нек-рой окрестности точки z0 в [img: http://localhost:8080/file/051956-118.jpg] (достаточно даже в [img: http://localhost:8080/file/051956-119.jpg] т. е. на множестве [img: http://localhost:8080/file/051956-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-121.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051956-122.jpg] и все bk=0. Действия с кратными С. р. производятся в основном по тем же правилам, что и в случае n=1. Другие свойства кратных С. р. см., напр., [8], [9]. 3) С. р. по действительным переменным х= (x1,..., xn), [img: http://localhost:8080/file/051956-123.jpg] - функциональный ряд вида [img: http://localhost:8080/file/051956-124.jpg] где использованы сокращенные обозначения, как и в (7), [img: http://localhost:8080/file/051956-125.jpg] - центр ряда. Если ряд (8) абсолютно сходится в нек-ром параллелепипеде [img: http://localhost:8080/file/051956-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-127.jpg] то он абсолютно сходится и в поликруге [img: http://localhost:8080/file/051956-128.jpg] r=(r1,..., rn). При этом сумма ряда s(x), будучи аналитич. цией действительных переменных x= (x1,..., х п)в П, аналитически продолжается в виде С. р. [img: http://localhost:8080/file/051956-129.jpg] до аналитич. ции s(z) комплексных переменных z=x+iy=(z1=x1+iyl,..., zn=-xn+iyn)в U(а, r). Если D- область сходимости С. р. (9) в пространстве [img: http://localhost:8080/file/051956-130.jpg] комплексных переменных z=x+iy, то сужение [img: http://localhost:8080/file/051956-131.jpg] области Dна пространство [img: http://localhost:8080/file/051956-132.jpg] действительных переменных x=(x1,..., х п) является областью сходимости С. р. (8), [img: http://localhost:8080/file/051956-133.jpg] В частности, при n=1 область Dявляется кругом сходимости, а его сужением [img: http://localhost:8080/file/051956-134.jpg] является интервал сходи мости на числовой оси [img: http://localhost:8080/file/051956-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051956-136.jpg] где r - радиус сходимости.