Стинрода квадрат

- стационарная (стабильная) когомологическая операция Sqi, [img: http://localhost:8080/file/051957-89.jpg] типа [img: http://localhost:8080/file/051957-90.jpg] повышающая размерность на i. Это означает, что для каждого натурального пи каждой пары топологич. пространств [img: http://localhost:8080/file/051957-91.jpg] (X, Y) задан такой гомоморфизм что [img: http://localhost:8080/file/051957-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051957-93.jpg] - кограничный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051957-94.jpg] (стационарность) и f*Sqi - Sqif* для любого непрерывного отображения [img: http://localhost:8080/file/051957-95.jpg] (естественность). С. к. Sqi обладает следующими свойствами: 1) Sq0=--id; 2) [img: http://localhost:8080/file/051957-96.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051957-97.jpg] - гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с короткой точной последовательностью групп коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/051957-98.jpg] 3) если i= dimx, то Sqix=x2; 4) если i>dimx, то Sqix=0; 5) (формула Картана) [img: http://localhost:8080/file/051957-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051957-100.jpg] 6) (соотношения Адема) при а<2bSqa [img: http://localhost:8080/file/051957-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051957-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051957-103.jpg] - биномиальные коэффициенты mod 2. В формуле Картана умножение можно считать как внешним ([img: http://localhost:8080/file/051957-104.jpg] -умножением), так и внутренним [img: http://localhost:8080/file/051957-105.jpg] -умножением). Она равносильна утверждению, что отображение [img: http://localhost:8080/file/051957-106.jpg] определенное формулой [img: http://localhost:8080/file/051957-107.jpg] является гоморфизмом колец. Из условия стационарности вытекает, что С. к. Sqi перестановочны с надстройкой и трансгрессией. Операции Sqi однозначно характеризуются свойствами 1), 3), 4), к-рые поэтому можно принять за определяющие их аксиомы. Конструктивное определение операций Sqi основывается на симплициальной структуре в группах цепей C*(X)и на существовании диагонального отображения [img: http://localhost:8080/file/051957-108.jpg] Пусть W - минимальный ациклический свободный цепной [img: http://localhost:8080/file/051957-109.jpg] -комплекс, т. е. цепной комплекс, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/051957-110.jpg] где Т - образующая группы [img: http://localhost:8080/file/051957-111.jpg] Методом ацикличных носителей или явным построением (см. [4]) доказывается существование такого эквивариантного цепного отображения [img: http://localhost:8080/file/051957-112.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/051957-113.jpg] для любого симплекса [img: http://localhost:8080/file/051957-114.jpg] (символом [img: http://localhost:8080/file/051957-115.jpg] здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного комплекса [img: http://localhost:8080/file/051957-116.jpg] содержащий элемент [img: http://localhost:8080/file/051957-117.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/051957-118.jpg] Любым двум коцепям [img: http://localhost:8080/file/051957-119.jpg] ставится в соответствие формулой [img: http://localhost:8080/file/051957-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051957-121.jpg] для любого симплекса [img: http://localhost:8080/file/051957-122.jpg] коцепь [img: http://localhost:8080/file/051957-123.jpg] наз. их [img: http://localhost:8080/file/051957-124.jpg] -произведением. Для кограницы этой коцепи имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/051957-125.jpg] из к-рой следует, что формула [img: http://localhost:8080/file/051957-126.jpg] корректно определяет нек-рый гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051957-127.jpg] к-рый не зависит от выбора отображения [img: http://localhost:8080/file/051957-128.jpg] Аналогичным образом операции Sqi строятся и в других симплициальных структурах с диагональным отображением, напр. в когомологиях симплициальных абелевых групп, симплициальных алгебр Ли и т. п. Однако при этом сохраняются не все свойства С. к. Sqi (напр., вообще говоря, [img: http://localhost:8080/file/051957-129.jpg] и единой общей теории обобщенных операций Sqi до сих пор (1984) нет (см. [5], [6]). Через С. к. и их аналоги при р>2 (см. Стинрода приведенная степень)выражаются многие когомологич. операции, действующие в группах когомологий с коэффициентами в группах [img: http://localhost:8080/file/051957-130.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051957-131.jpg], Это определяет основополагающую роль, к-рую С. к. играют в алгебраич. топологии и ее приложениях. Напр., группы бордизмов вычисляются с помощью С. к. С. к. введен Н. Стинродом [4].