Стохастическая матрица

квадратная (возможно, бесконечная) матрица [img: http://localhost:8080/file/051958-125.jpg] с неотрицательными элементами такими, что [img: http://localhost:8080/file/051958-126.jpg] при любом i. Множество всех С. м. n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку п n С. м., составленных из нулей и единиц. Любую С. м. Рможно рассматривать как переходных вероятностей матрицу цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-1.jpg] с дискретным временем. Абсолютные величины собственных значений С. м. не превосходят единицы; единица является собственным значением любой С. м. Если С. м. Рнеразложима (цепь Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-2.jpg] имеет один положительный класс состояний), то единица является простым собственным значением матрицы Р(т. е. имеет кратность 1); в общем случае кратность собственного значения 1 совпадает с числом положительных классов цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-3.jpg] Если С. м. неразложима и положительный класс состояний цепи Маркова имеет период d, то множество всех собственных значений матрицы Р, как множество точек комплексной плоскости, переходит в себя при повороте на угол [img: http://localhost:8080/file/051959-4.jpg] При d=l С. м. Ри цепь Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-5.jpg] наз. непериодическими. Левые собственные векторы [img: http://localhost:8080/file/051959-6.jpg] С. м. Рконечного порядка, соответствующие единичному собственному значению: [img: http://localhost:8080/file/051959-7.jpg] и удовлетворяющие условиям [img: http://localhost:8080/file/051959-8.jpg] определяют стационарные распределения цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-9.jpg] в случае неразложимой С. м. Рстационарное распределение единственно. Если Р - неразложимая непериодическая С. м. конечного порядка, то существует [img: http://localhost:8080/file/051959-10.jpg] где П - матрица, каждая строка к-рой совпадает с вектором [img: http://localhost:8080/file/051959-11.jpg] (см. также Маркова цепь эргодическая;для бесконечных С. м.. система уравнений (1) может не иметь ненулевых решений, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/051959-12.jpg] в этом случае матрица П - нулевая). Скорость сходимости в (2) можно оценить геометрич. прогрессией с любым показателем [img: http://localhost:8080/file/051959-13.jpg] к-рый по модулю больше всех собственных значений матрицы Р, отличных от 1. Если [img: http://localhost:8080/file/051959-14.jpg] - С. м. ге-го порядка, то любое ее собственное значение [img: http://localhost:8080/file/051959-15.jpg] удовлетворяет неравенству (см. [3]): [img: http://localhost:8080/file/051959-16.jpg] Описано множество М п, являющееся объединением множеств собственных значений всех С. м. n-го порядка (см. [4]). С. м. [img: http://localhost:8080/file/051959-17.jpg] удовлетворяющая дополнительному условию [img: http://localhost:8080/file/051959-18.jpg] наз. дважды стохастической матрицей. Множество дважды стохастич. матриц n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку [img: http://localhost:8080/file/051959-19.jpg] перестановочных матриц ге-го порядка (т. е. дважды стохастич. матриц, составленных из нулей и единиц). Стационарное распределение конечной цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/051959-20.jpg] с дважды стохастич. матрицей Рявляется равномерным.