Структурно упорядоченная группа

решеточно упорядоченная группа, l- группа,- группа G, на множестве элементов к-рой задано отношение частичного порядка [img: http://localhost:8080/file/051961-2.jpg] обладающее свойствами: 1) G - решетка относительно [img: http://localhost:8080/file/051961-3.jpg] т. е. для любых [img: http://localhost:8080/file/051961-4.jpg] существуют элементы [img: http://localhost:8080/file/051961-5.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/051961-6.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051961-7.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/051961-8.jpg] выполнено [img: http://localhost:8080/file/051961-9.jpg] и для любого [img: http://localhost:8080/file/051961-10.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051961-11.jpg] выполнено [img: http://localhost:8080/file/051961-12.jpg] 2) для любых [img: http://localhost:8080/file/051961-13.jpg] неравенство [img: http://localhost:8080/file/051961-14.jpg] влечет за собой [img: http://localhost:8080/file/051961-15.jpg] Эквивалентным образом С. у. г. может быть определена как алгебраич. система в сигнатуре [img: http://localhost:8080/file/051961-16.jpg] удовлетворяющая аксиомам: 3) [img: http://localhost:8080/file/051961-17.jpg] - группа; 4) [img: http://localhost:8080/file/051961-18.jpg] - решетка; 5) [img: http://localhost:8080/file/051961-19.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051961-20.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/051961-21.jpg] Решетка элементов С. у. г. дистрибутивна. Модулем (соответственно положительной и отрицательной частью) элемента хназ. элемент [img: http://localhost:8080/file/051961-22.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/051961-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051961-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051961-25.jpg] В С. у. г. верны соотношения: [img: http://localhost:8080/file/051961-26.jpg] Элементы хи у наз. ортогональными, если [img: http://localhost:8080/file/051961-27.jpg] Ортогональные элементы перестановочны. Подмножество H l-группы Gназ. l-подгруппой, если Н - подгруппа и подрешетка в G; l -подгруппа H наз. l- идеалом С. у. г. G, если она нормальна и выпукла в G. Множество l-подгрупп С. у. г. образует подрешетку решетки всех ее подгрупп. Решетка l-идеалов С. у. г. дистрибутивна. l - гомоморфизмом l-группы Gв l-группу H наз. гомоморфизм Ф группы Gв группу H такой, что [img: http://localhost:8080/file/051961-28.jpg] Ядрами l-гомоморфизмов являются в точности l-идеалы l-групп. Если Gесть l-группа, [img: http://localhost:8080/file/051961-29.jpg] то множество [img: http://localhost:8080/file/051961-30.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/051961-31.jpg] является выпуклой l-подгруппой в G. Группа A(L)взаимно однозначных сохраняющих порядок отображений линейно упорядоченного множества L на себя есть l-группа (если для [img: http://localhost:8080/file/051961-32.jpg] положить [img: http://localhost:8080/file/051961-33.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/051961-34.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/051961-35.jpg], Всякая l-группа l-изоморфна l-подгруппе С. у. г. A(L) для нек-рого подходящего множества L. Класс всех С. у. г. является многообразием сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/051961-36.jpg] Важнейшее его подмногообразие- класс С. у. г., аппроксимирующихся линейно упорядоченными группами (класс представимых l -групп).