Стьюдента критерий

t - критерий,- значимости критерий для средних значений нормальных распределений. Одновыборочный С. к. Пусть независимые случайные величины X1, X2,..., Х п подчиняются нормальному [img: http://localhost:8080/file/051961-103.jpg] закону, параметры к-рого аи [img: http://localhost:8080/file/051961-104.jpg] неизвестны, и пусть проверяется сложная гипотеза [img: http://localhost:8080/file/051961-105.jpg] против сложной альтернативы [img: http://localhost:8080/file/051961-106.jpg] Для решения этой задачи используется С. к., основанный на статистике [img: http://localhost:8080/file/051961-107.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051961-108.jpg] - оценки параметров аи [img: http://localhost:8080/file/051961-109.jpg] вычисленные по выборке X1, X2,..., Х п. При справедливости гипотезы H0 статистика tn-1 подчиняется Стъюдента распределению с f=n-1 степенями свободы, т. е. [img: http://localhost:8080/file/051961-110.jpg] где Sf(t) - функция распределения Стьюдента с f степенями свободы. Согласно одновыборочпому С. к. с уровнем значимости [img: http://localhost:8080/file/051961-111.jpg] гипотезу H0 следует принять, если [img: http://localhost:8080/file/051961-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051961-113.jpg] - квантиль уровня [img: http://localhost:8080/file/051961-114.jpg] распределения Стьюдента с f= п-1 степенями свободы, т. е. [img: http://localhost:8080/file/051961-115.jpg] - решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/051961-116.jpg] Напротив, если [img: http://localhost:8080/file/051961-117.jpg] то согласно С. к. уровня [img: http://localhost:8080/file/051961-118.jpg] проверяемую гипотезу Н 0: а=а0 следует отвергнуть и принять конкурирующую гипотезу [img: http://localhost:8080/file/051961-119.jpg] Двухвыборочпый С. к. Пусть X1, X2,..., Х п и Y1, Y2,..., Ym- взаимно независимые нормально распределенные случайные величины, имеющие одинаковую, но неизвестную дисперсию [img: http://localhost:8080/file/051961-120.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/051961-121.jpg] причем параметры a1 и a2 тоже неизвестны (часто говорят, что имеются две независимые нормальные выборки). Далее, пусть проверяется гипотеза Н 0: а1=а2 против альтернативы [img: http://localhost:8080/file/051961-122.jpg] В этом случае как проверяемая гипотеза Н 0,так и конкурирующая гипотеза Н 1 являются сложными. По наблюдениям X1, X2,..., Х п и Y1, Y2,..., Ym можно вычислить оценки [img: http://localhost:8080/file/051961-123.jpg] для неизвестных математич. ожиданий al и a2, а также оценки [img: http://localhost:8080/file/051961-124.jpg] для неизвестной дисперсии [img: http://localhost:8080/file/051961-125.jpg] Далее, пусть [img: http://localhost:8080/file/051961-126.jpg] Тогда при справедливости гипотезы Н 0 статистика [img: http://localhost:8080/file/051961-127.jpg] подчиняется распределению Стьюдента с f=n+т-2 степенями свободы. Именно этот факт и лежит в основе двухвыборочного С. к., предназначенного для проверки Н 0 против H1. Согласно двухвыборочному С. к. уровня [img: http://localhost:8080/file/051961-128.jpg] гипотеза H0 принимается, если [img: http://localhost:8080/file/051961-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051961-130.jpg] - квантиль уровня [img: http://localhost:8080/file/051961-131.jpg] распределения Стьюдента с f=n+m-2 степенями свободы. Если же [img: http://localhost:8080/file/051961-132.jpg] то согласно С. к. уровня [img: http://localhost:8080/file/051961-133.jpg] гипотеза Н 0 отвергается в пользу Н 1.