Сумматорная функция

функции f - функция [img: http://localhost:8080/file/051962-124.jpg] обозначающая сумму значений f(n) на множестве натуральных чисел [img: http://localhost:8080/file/051962-125.jpg] С. ф. являются одним из основных средств выражения разнообразных свойств числовых последовательностей. Примеры С. ф.: число простых чисел [img: http://localhost:8080/file/051962-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051962-127.jpg] - Чебышева функция, число делителей всех [img: http://localhost:8080/file/051962-128.jpg] и т. п. (см. [1], [2]). Основная задача состоит в том, чтобы найти возможно более точное асимптотич. выражение С. ф., а для С. ф., не имеющей асимптотики, наилучшую оценку ее модуля для больших значений х. В основе аналитич. методов изучения С. ф. лежат Коши интегральная теорема и Дирихле ряды вида [img: http://localhost:8080/file/051962-129.jpg] Если такой ряд абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/051962-130.jpg] то для нецелого [img: http://localhost:8080/file/051962-131.jpg] справедливо тождество [img: http://localhost:8080/file/051962-132.jpg] из к-рого, имея аналитич. родолжение F(s)переносом Пути интегрирования влево на нек-рое Re [img: http://localhost:8080/file/051962-133.jpg] за счет оценок интеграла по новому контуру, получается соответствующая оценка для С. ф. f. В случае [img: http://localhost:8080/file/051962-134.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051962-135.jpg] напр., интегрирование можно перенести на [img: http://localhost:8080/file/051962-136.jpg] что дает формулу Римана - Мангольдтa для [img: http://localhost:8080/file/051962-137.jpg] Из общих применений метода известна следующая теорема. Предположения: f(п), l п - комплексные числа, [img: http://localhost:8080/file/051962-138.jpg] - действительные числа, [img: http://localhost:8080/file/051962-139.jpg] - положительные числа, [img: http://localhost:8080/file/051962-140.jpg] и v - целые числа [img: http://localhost:8080/file/051962-141.jpg] Г - гамма-функция, [img: http://localhost:8080/file/051962-142.jpg] 1) Для любого [img: http://localhost:8080/file/051962-143.jpg] 2) Определенная для [img: http://localhost:8080/file/051962-144.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/051962-145.jpg] мероморфна во всей плоскости и имеет конечное число полюсов в полосе [img: http://localhost:8080/file/051962-146.jpg] 3) Ряд [img: http://localhost:8080/file/051962-148.jpg] абсолютно сходится при [img: http://localhost:8080/file/051962-147.jpg] 4) Для [img: http://localhost:8080/file/051962-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051962-150.jpg] 5) [img: http://localhost:8080/file/051962-151.jpg] 6) Если положить [img: http://localhost:8080/file/051962-152.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051962-153.jpg] Для фиксированной полосы [img: http://localhost:8080/file/051962-154.jpg] найдется постоянная [img: http://localhost:8080/file/051962-155.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/051962-156.jpg] и больших |t| имеет место оценка [img: http://localhost:8080/file/051962-157.jpg] Заключение. Для любого [img: http://localhost:8080/file/051962-158.jpg] имеют [img: http://localhost:8080/file/051962-159.jpg] где R(х) - сумма вычетов функции [img: http://localhost:8080/file/051962-160.jpg] для всех ее полюсов в полосе [img: http://localhost:8080/file/051962-161.jpg]