Суммирование рядов фурье

построение средних рядов Фурье с помощью суммирования методов. Наиболее развита теория С. р. Ф. по тригонометрич. системе. В этом случае для функций [img: http://localhost:8080/file/051963-11.jpg] с рядами Фурье [img: http://localhost:8080/file/051963-12.jpg] изучаются свойства средних, соответствующих рассматриваемому методу суммирования. Напр., для Абеля - Пуассона метода суммирования средними являются гармонические в единичном круге функции [img: http://localhost:8080/file/051963-13.jpg] а для средних арифметических метода суммирования - суммы Фейера [img: http://localhost:8080/file/051963-14.jpg] Кроме названных, наиболее важными в теории одномерных тригонометрич. рядов являются Чезаро методы суммирования, Рисса метод суммирования, Римана метод суммирования, Бернштейна - Рогозинского, метод суммирования, Балле Пуссена метод суммирования. Рассматриваются также методы суммирования, порождаемые более или менее произвольной последовательностью [img: http://localhost:8080/file/051963-15.jpg] -множителей [img: http://localhost:8080/file/051963-16.jpg] С. р. Ф. применяется в следующих задачах. Представление функций с помощью рядов Фурье. Напр., средние Абеля - Пуассона f(r, x)при [img: http://localhost:8080/file/051963-17.jpg] и суммы Фейера [img: http://localhost:8080/file/051963-18.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051963-19.jpg] сходятся к функции f(х)в точках ее непрерывности, причем сходятся равномерно, если f непрерывна во веех точках; для каждой функции [img: http://localhost:8080/file/051963-20.jpg] эти средние сходятся к ней в метрике L. Частные суммы рядов Фурье указанными свойствами не обладают. Построение полиномов с хорошими аппроксимативными свойствами. Фактически с помощью С. р. Ф. было установлено Джексона неравенство. Для решения этой задачи, наряду с использованием известных методов суммирования, были предложены новые методы - Джексона сингулярный интеграл, Балле Пуссена суммы. В терминах средних рядов Фурье можно характеризовать многие свойства функций. Напр., функция f является существенно ограниченной в том и только том случае, когда существует такая постоянная М, что [img: http://localhost:8080/file/051963-21.jpg] для всех n и х. Существенную роль играет С. р. Ф. в теории кратных тригонометрич. рядов. Так, вместо сферических частных сумм чаще используют их средние Рисса достаточно высокого порядка. Рассматривается также С. р. Ф. по другим ортонормированным системам функций - как по конкретным системам или классам систем, напр., по ортогональным многочленам, так и по произвольным ортонормированным системам.