Супералгебра

- [img: http://localhost:8080/file/051963-72.jpg] -градуированная алгебра над полем k(см. Градуированная алгебра), т. е. суперпространство А над k, снабженное четным линейным отображением [img: http://localhost:8080/file/051963-73.jpg] С. наз. коммутативной (или градуированио-коммутативной), если [img: http://localhost:8080/file/051963-74.jpg] Определение С. можно обобщить на случай, когда областью скаляров является произвольная ассоциативно-коммутативная С. С. Примеры ассоциативных С. над С:алгебра М т|п (С)матриц вида [img: http://localhost:8080/file/051963-77.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051963-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051963-76.jpg] снабженная естественной [img: http://localhost:8080/file/051963-78.jpg] градуировкой; тензорная алгебра Т (М) [img: http://localhost:8080/file/051963-79.jpg] -градуированного модуля Мнад С; симметрическая алгебра S (М)= Т(M)/I модуля М, где I - идеал, порожденный элементами вида [img: http://localhost:8080/file/051963-80.jpg] внешняя алгебра L (M)= S (П (M)) модуля М(последние две С. коммутативны). С. [img: http://localhost:8080/file/051963-81.jpg] над полем характеристики 0 с умножением [,] наз. супералгеброй Ли, если [img: http://localhost:8080/file/051963-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051963-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051963-83.jpg] Примеры. Любая ассоциативная С., снабженная операцией коммутирования [img: http://localhost:8080/file/051963-85.jpg] алгебра DerАдифференцирований произвольной С. А(т. [img: http://localhost:8080/file/051963-91.jpg] для четной (соответственно нечетной) симметрической невырожденной билинейной формы; [img: http://localhost:8080/file/051963-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051963-93.jpg] а также нек-рыми исключительными алгебрами. С. картановского типа - это алгебра [img: http://localhost:8080/file/051963-94.jpg] и ее подалгебры, аналогичные простым Ли градуированным алгебрам Wn, Sn, Hn. Известны также классификация конечномерных простых С. Ли над [img: http://localhost:8080/file/051963-95.jpg] и описание полупростых С. Ли в терминах простых. Теория линейных представлений С. Ли существенно сложнее, чем для алгебр Ли, поскольку представления простых С. Ли, как правило, не являются вполне приводимыми, а неприводимые представления разрешимых С. Ли могут не быть одномерными. Известны классификация неприводимых представлений простых конечномерных С. Ли над [img: http://localhost:8080/file/051963-96.jpg] в терминах старших весов (см. [1], [2]), а также явное описание конечномерных представлений и характеров формула для нек-рых серий этих алгебр [1].