Суперпространство

векторное пространство Vнад полем k, наделенное [img: http://localhost:8080/file/051964-1.jpg] -градуировкой [img: http://localhost:8080/file/051964-2.jpg] Элементы пространств [img: http://localhost:8080/file/051964-3.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051964-4.jpg] наз. соответственно четными и нечетными; для [img: http://localhost:8080/file/051964-5.jpg] определена четность р(х)=i [img: http://localhost:8080/file/051964-6.jpg] С каждым С. К связано С. П(V)такое, что [img: http://localhost:8080/file/051964-7.jpg] Размерностью С. Vназ. пара (т, п), где [img: http://localhost:8080/file/051964-8.jpg] Поле kобычно рассматривается как С. размерности (1, 0). Для С. Vи Wестественным образом определяется структура С. в пространствах [img: http://localhost:8080/file/051964-9.jpg] V* и т. д. В частности, линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/051964-10.jpg] четно, если [img: http://localhost:8080/file/051964-11.jpg] и нечетно, если [img: http://localhost:8080/file/051964-12.jpg] Однородная билинейная форма [img: http://localhost:8080/file/051964-13.jpg] наз. симметрической, если [img: http://localhost:8080/file/051964-14.jpg] и кососимметрической, если [img: http://localhost:8080/file/051964-15.jpg] Все эти понятия переносятся на [img: http://localhost:8080/file/051964-16.jpg] -градуированные свободные модули Vнад произвольной коммутативной супералгеброй С. Базис в Vобычно выбирается так, чтобы первые его векторы были четными, а последние - нечетными. Любой эндоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051964-17.jpg] модуля Г записывается в таком базисе блочной матрицей [img: http://localhost:8080/file/051964-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051964-19.jpg] причем, если [img: http://localhost:8080/file/051964-20.jpg] четен, то Xи Тсостоят из четных, а Y и Zиз нечетных элементов (матрица [img: http://localhost:8080/file/051964-21.jpg] четна), а если [img: http://localhost:8080/file/051964-22.jpg] нечетен, то Xи Тсостоят из нечетных, а Y и. из четных элементов [img: http://localhost:8080/file/051964-23.jpg] нечетна).