Существенно особая точка

изолированная особая точка а однозначного характера аналитич. ции f(z) комплексного переменного z, для к-рой не существует никакого, конечного или бесконечного, предела [img: http://localhost:8080/file/051964-69.jpg] В достаточно малой проколотой окрестности [img: http://localhost:8080/file/051964-70.jpg] С. о. т. [img: http://localhost:8080/file/051964-71.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/051964-72.jpg] в случае [img: http://localhost:8080/file/051964-73.jpg] функция f(z)разлагается в ряд Лорана [img: http://localhost:8080/file/051964-74.jpg] или соответственно [img: http://localhost:8080/file/051964-75.jpg] причем в главной части этих рядов имеется бесконечно много отличных от нуля коэффициентов с k с отрицательными индексами k. Сохоцкого теорема показывает, что любое комплексное значение wиз расширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/051964-76.jpg] является предельным для функции f(z) в любой сколь угодно малой окрестности С. о. т. а. Согласно Пикара теореме, любое конечное комплексное значение [img: http://localhost:8080/file/051964-77.jpg] за исключением, быть может, одного, даже принимается функцией f(z), и притом бесконечно часто, в любой окрестности С. о. т. а. Теорему Сохоцкого иначе выражают, говоря, что предельное множество С (а; f) функции f(z) в С. о. т. а совпадает со всей расширенной плоскостью [img: http://localhost:8080/file/051964-78.jpg] Для регулярных точек и полюсов это множество, напротив, вырожденное, т. е. сводится к одной точке [img: http://localhost:8080/file/051964-79.jpg] Поэтому в более общем смысле существенно особой точкой аналитпч. функции f(z) наз. всякая такая особая точка а(не обязательно изолированная), в к-рой не существует конечного или бесконечного предела [img: http://localhost:8080/file/051964-80.jpg] или, иначе говоря, в к-рой предельное множество С(а; f) невырожденное. Теоремы Сохоцкого и Пикара для таких С. о. т., не являющихся изолированными точками множества всех особых точек, доказаны лишь при нек-рых дополнительных предположениях. Напр., эти теоремы остаются в силе для изолированной точки амножества С. о. т., в частности для предельной точки аполюсов мероморфной функции. Точка а= (а 1,..., а n)комплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/051964-81.jpg] наз. точкой мероморфности аналитич. ции f(z) многих комплексных переменных z=(zl,..., zn), если f(z) есть мероморфная функция в нек-рой окрестности Uточки а, т. е. если f(z) пред-ставима в Uв виде отношения двух голоморфных функций f(z)=p(z)/q(z), [img: http://localhost:8080/file/051964-82.jpg] Существенно особыми точками аналитич. ции f(z) многих комплексных переменных наз. особые точки афункции f(z), не являющиеся точками мероморфности. При этом невырожденность предельного множества. (а; f) перестает быть характеристическим свойством С. о. т.