Сферическая гармоника

степени k - сужение однородного гармонического многочлена h(k) (х)степени kот ппеременных х= (х 1..... х n)на единичной сфере Sn-1 евклидова пространства Е п, [img: http://localhost:8080/file/051965-34.jpg] Bчастности, при п=3 С. г. - это классич. сферические функции. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051965-35.jpg] Основным свойством С. г. является свойство ортогональности: если [img: http://localhost:8080/file/051965-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051965-37.jpg] - С. г. соответственно степеней kи l, причем [img: http://localhost:8080/file/051965-38.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051965-39.jpg] Простейшими С. г. являются зональные сферические гармоники. Для любого [img: http://localhost:8080/file/051965-40.jpg] и любого k>0 существует зональная С. г. [img: http://localhost:8080/file/051965-41.jpg] постоянная на любой параллели сферы Sn-1,ортогональной вектору t'. Зональные С. г. [img: http://localhost:8080/file/051965-42.jpg] лишь постоянным множителем отличаются от Лежандра многочленов [img: http://localhost:8080/file/051965-43.jpg] при п=3 или от ультрасферических многочленов [img: http://localhost:8080/file/051965-44.jpg] при n>3: [img: http://localhost:8080/file/051965-45.jpg] где многочлены [img: http://localhost:8080/file/051965-46.jpg] определяются при [img: http://localhost:8080/file/051965-47.jpg] через производящую функцию [img: http://localhost:8080/file/051965-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051965-49.jpg] Многочлены [img: http://localhost:8080/file/051965-50.jpg] k= 0, 1,..., ортогональны свесом [img: http://localhost:8080/file/051965-51.jpg] и образуют ортогональный базис пространства [img: http://localhost:8080/file/051965-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051965-53.jpg] Если f(х') - функция из пространства L2(Sn-1), причем [img: http://localhost:8080/file/051965-54.jpg] то существует единственный набор С. г. Y(k) такой, что [img: http://localhost:8080/file/051965-55.jpg] причем ряд сходится по норме L2(Sn-1). Разложения по С. г. во многом аналогичны разложениям в ряды Фурье, обобщением к-рых они в сущности являются. Однородные гармонические многочлены h(k) (х)иногда наз. пространственными С. г. В силу однородности [img: http://localhost:8080/file/051965-56.jpg] в связи с чем С. г. иногда наз. также поверхностными С. г.