Сферические функции

шаровые функции, присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода, - два линейно независимых решения [img: http://localhost:8080/file/051965-98.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051965-99.jpg] дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/051965-100.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051965-101.jpg] - комплексные постоянные, к-рое возникает при решении нек-рых классов дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных. Точки [img: http://localhost:8080/file/051965-102.jpg] являются в общем случае точками ветвления решений. С. ф. являются частными случаями гипергеометрич. функции: [img: http://localhost:8080/file/051965-103.jpg] (arg z=0 при Im z=0, z > 0; arg(z2-1)=0 при Im z=0, z > 1). С. ф. [img: http://localhost:8080/file/051965-104.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051965-105.jpg] определены и однозначны соответственно в областях |1-z|<2 и |z| >1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль действительной оси от [img: http://localhost:8080/file/051965-106.jpg] до +1. Если Im z=0, z=x, -1<x<1, то обычно в качестве решений рассматриваются функции [img: http://localhost:8080/file/051965-107.jpg] где f(x+i0) (f(х-i0)).- значения функции f(z) на верхней (нижней) границе разреза. При [img: http://localhost:8080/file/051965-108.jpg] v=n=0, 1, 2,... [img: http://localhost:8080/file/051965-109.jpg] - многочлены Лежандра. О зональных С. ф. см. ст. Сферическая гармоника.