Сферическое отображение

отображение гладкой ориентируемой (гипер)поверхности Mk пространства Ek+l в (единичную) сферу Sk с центром в начале координат Ek+l, сопоставляющее точке [img: http://localhost:8080/file/051966-27.jpg] точку [img: http://localhost:8080/file/051966-28.jpg] с радиус-вектором [img: http://localhost:8080/file/051966-29.jpg] - (единичной) нормалью к Mk в х. Иначе, С. о. определяется поливектором, построенным из kнезависимых векторов, касательных к Mk: [img: http://localhost:8080/file/051966-30.jpg] (здесь u1,..., uk - локальные координаты точки х, [img: http://localhost:8080/file/051966-31.jpg] -радиус-вектор Mk). Напр., при k=2 [img: http://localhost:8080/file/051966-32.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051966-33.jpg] - векторное произведение; этот простейший случай был рассмотрен К. Гауссом (С. Gauss, 1814). Образ С. о. наз. сферическим изображением Mk, или его сферическим образом. Форма, [img: http://localhost:8080/file/051966-34.jpg] -обратный образ метрич. формы Sk - наз. третьей квадратичной формой (гипер)поверхности Mk. Отвечающий ей тензор [img: http://localhost:8080/file/051966-35.jpg] связан с тензорами gij и bij соответственно пepвoй и второй квадратичных форм соотношением [img: http://localhost:8080/file/051966-36.jpg] а метрич. связности, соответствующие [img: http://localhost:8080/file/051966-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051966-38.jpg] оказываются сопряженными связностями. Наряду со С. о. в случае (гипер)поверхности, однозначно проектирующейся на нек-рую (гипер)плоскость, удобно рассматривать т. [img: http://localhost:8080/file/051966-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051966-43.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/051966-42.jpg] Для неориентируемых (гипер)поверхностей используется т. н. неориентируемое С. о.- отображение Mk в эллиптич. пространство Э k (интерпретируемое как связка прямых, проходящих через центр Ek+l): точке [img: http://localhost:8080/file/051966-44.jpg] ставится в соответствие прямая, перпендикулярная касательной плоскости к М к в х. С. о. характеризует искривленность (гипер)поверхности в пространстве. Именно, отношение элементов площадей сферич. образа dS* и самой поверхности dS в точке [img: http://localhost:8080/file/051966-45.jpg] равно полной (или кронекеровой, или внешней) кривизне К l - произведению главных кривизн М k в х: [img: http://localhost:8080/file/051966-46.jpg] Точно так же (интегральная) кривизна множества [img: http://localhost:8080/file/051966-47.jpg] равна площади его сферич. образа (т. е. множества [img: http://localhost:8080/file/051966-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051966-49.jpg] Обобщения сферического отображения. 1) Касательное представление - С. о. подмногообразия М к в EN - отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-50.jpg] где GK,M -Грaссмана многообразие, определяемое (здесь) следующим образом. Пусть Т х - касательное пространство к Mk в точке х, к-рое можно считать (гипер)плоскостью в EN, а Т(х)есть K-мерное подпространство, проходящее через начало координат Е N- параллельно Т х. Отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-51.jpg] и наз. С. о. Имеет место обобщение формулы (1) (для четных k): [img: http://localhost:8080/file/051966-52.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/051966-53.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051966-54.jpg] - кривизны форма на [img: http://localhost:8080/file/051966-55.jpg] - аналогичная форма на GK,H, TN(Mk) - образ Mk при С. о. Двойственным образом определяется нормальное отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-56.jpg] точке [img: http://localhost:8080/file/051966-57.jpg] сопоставляется ортогональное дополнение к Т(х). 2) Гауссово отображение (г. о.) векторного расслоения [img: http://localhost:8080/file/051966-58.jpg] в векторное пространство FN, [img: http://localhost:8080/file/051966-59.jpg] - (произвольное) отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-60.jpg] пространства расслоения [img: http://localhost:8080/file/051966-61.jpg] индуцирующее на каждом слое линейный мономорфизм. Для канонического векторного расслоения [img: http://localhost:8080/file/051966-62.jpg] (подрасслоения расслоения-произведения [img: http://localhost:8080/file/051966-63.jpg] пространство к-рого состоит из всевозможных нар [img: http://localhost:8080/file/051966-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051966-65.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-66.jpg] наз. каноническим гауссовым отображением. Для любого расслоения [img: http://localhost:8080/file/051966-67.jpg] каждое г. о. является композицией канонич. г. о. и нек-рого морфизма расслоений; г. о. существует тогда и только тогда, когда существует такое отображение (В - база расслоения) [img: http://localhost:8080/file/051966-68.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/051966-69.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051966-70.jpg] изоморфны (в частности, для каждого векторного расслоения над паракомпактным пространством существует г. о. в [img: http://localhost:8080/file/051966-71.jpg] Для подмногообразий риманова пространства имеется несколько обобщений С. о. 3) Локально гауссово отображение. Пусть U- риманова нормальная координатная окрестность точки [img: http://localhost:8080/file/051966-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051966-73.jpg] - сужение на Uнормального расслоения многообразия Mk. Тогда отображение [img: http://localhost:8080/file/051966-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051966-75.jpg] - соответственно касательная и нормальная (гипер)плоскости к Mk в х, наз. локально гауссовым, если [img: http://localhost:8080/file/051966-76.jpg] есть параллельный перенос в VN вектора z назад вдоль геодезич. луча в U, идущего из хв начальную точку вектора z. Если [img: http://localhost:8080/file/051966-77.jpg] имеет тривиальную группу голономии, то перенос не зависит от пути, так что можно определить глобальное отображение Gна [img: http://localhost:8080/file/051966-78.jpg] согласованно с GU на [img: http://localhost:8080/file/051966-79.jpg] 4) Ефимовcкое отображение относится к поверхностям М 2 в римановом пространстве V3 и является развитием упомянутого выше понятия сопряженных связностей. Оно определяется более формально из-за отсутствия абсолютного параллелизма в V3 и рассматривает аналог третьей квадратич. формы - квадрат ковариантного дифференциала нормали - [img: http://localhost:8080/file/051966-80.jpg] При этом связь гауссовых кривизн K(ds*)и К(ds)оказывается более сложной (вследствие неоднородности, вообще говоря, уравнений Кодацци). Эта связь oстается прежней, т. е. [img: http://localhost:8080/file/051966-81.jpg] здесь К(ds), K(|Dn|)-гауссовы кривизны метрик ds и |Dn| (в случае V3=E3 К(ds) = Kl), и получается прежняя формула K(|Dn|)=K(|dn|)=1, где Kl - внешняя кривизна M2 в V3, напр, в следующей ситуации: нормаль к М 2 является собственным вектором Риччи тензора пространства V3 (рассматриваемого в точках М 2), другими словами, M2 - одна из главных поверхностей этого тензора. Это всегда так, если V3 является пространством постоянной кривизны. Наконец, понятие С. о. вводится для нек-рых классов нерегулярных поверхностей. 5) Полярное отображение - С. о. выпуклой (гипер)поверхности Fk в Ek+1,сопоставляющее точке [img: http://localhost:8080/file/051966-82.jpg] множество v(х)всех тех единичных векторов, отложенных от начала координат, к-рые параллельны нормалям к опорным (гипер)плоскостям к Fk в х. Теорема Александрова: сферич. образ v(А)каждого борелевского множества [img: http://localhost:8080/file/051966-83.jpg] измерим, и интегральная кривизна К(A) = mes v(A)есть вполне аддитивная функция.