Сходимость мер

- понятие теории меры, задаваемое той или иной топологией в пространстве мер, определенных на нек-рой [img: http://localhost:8080/file/051968-34.jpg] -алгебре [img: http://localhost:8080/file/051968-35.jpg] подмножеств пространства Xили, более общо, в пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051968-37.jpg] зарядов, т. е. счетно аддитивных действительных или комплексных функций [img: http://localhost:8080/file/051968-38.jpg] определенных на множествах из [img: http://localhost:8080/file/051968-39.jpg] Наиболее употребительны следующие топологии в подпространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-40.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/051968-41.jpg] состоящем из ограниченных зарядов, т. е. таких, что [img: http://localhost:8080/file/051968-42.jpg] 1) В пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-43.jpg] вводится норма [img: http://localhost:8080/file/051968-44.jpg] наз. вариацией заряда [img: http://localhost:8080/file/051968-45.jpg] Сходимость последовательности зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-46.jpg] к заряду [img: http://localhost:8080/file/051968-47.jpg] в этой норме наз. сходимостью по вариации. 2) В пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-48.jpg] рассматривается обычная слабая топология: сходимость последовательности зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-49.jpg] этой топологии (слабая сходимость) означает, что для любого линейного непрерывного функционала на пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051968-51.jpg] Эта сходимость равносильна тому, что последовательность зарядов ограничена: [img: http://localhost:8080/file/051968-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051968-53.jpg] и для любого множества [img: http://localhost:8080/file/051968-54.jpg] последовательность значени й [img: http://localhost:8080/file/051968-55.jpg] Слабая сходимость последовательности зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-56.jpg] n=1, 2,... влечет сходимость интегралов [img: http://localhost:8080/file/051968-57.jpg] для любой ограниченной измеримой относительно [img: http://localhost:8080/file/051968-58.jpg] -алгебры [img: http://localhost:8080/file/051968-59.jpg] функции f на X. 3) В случае, когда X - топологич. пространство, а [img: http://localhost:8080/file/051968-60.jpg] - его борелевская [img: http://localhost:8080/file/051968-61.jpg] -алгебра в пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-62.jpg] рассматривают топологию, также наз. слабой (иногда узкой) топологией. Она определяется как самая слабая из топологий в [img: http://localhost:8080/file/051968-63.jpg] относительно к-рой непрерывны все функционалы вида [img: http://localhost:8080/file/051968-64.jpg] где f - произвольная ограниченная непрерывная функция на пространстве X. Эта топология слабее предыдущей топологии и сходимость последовательности зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-65.jpg] относительно нее (слабая или узкая сходимость) равносильна сходимости значений [img: http://localhost:8080/file/051968-66.jpg] для любого борелевского множества [img: http://localhost:8080/file/051968-67.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/051968-68.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051968-69.jpg] и чертой обозначена операция замыкания множества. 4) В случае, когда X -- локально компактное топологич. пространство (а [img: http://localhost:8080/file/051968-70.jpg] - борелевская [img: http://localhost:8080/file/051968-71.jpg] -алгебра) в пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-72.jpg] рассматривают т. н. широкую топологию: сходимость последовательности зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-73.jpg] (широкая сходимость) означает сходимость функционалов [img: http://localhost:8080/file/051968-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051968-75.jpg] для любой непрерывной функции f с компактным носителем. Эта топология слабее, чем слабая топология в [img: http://localhost:8080/file/051968-76.jpg] Аналогичная топология естественно определяется и в более широком пространстве [img: http://localhost:8080/file/051968-77.jpg] локально ограниченных зарядов [img: http://localhost:8080/file/051968-78.jpg] т. е. таких, что для любой точки [img: http://localhost:8080/file/051968-79.jpg] найдется такая ее окрестность U, что [img: http://localhost:8080/file/051968-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051968-81.jpg]