Тейлора формула

- представление функции в виде суммы еи многочлена Тейлора степени п(n=0, 1, 2,...) и остаточного члена. Если действительная функция / одного переменного имеет ппроизводных в точке х 0, то ее Т. ф. имеет вид f(x) = Pn(x) + rn(x), где [img: http://localhost:8080/file/052001-120.jpg] - Тейлора многочлен, а остаточный член r п (х)может быть записан в форме Пеано [img: http://localhost:8080/file/052001-121.jpg] Если функция f дифференцируема n+1 раз в нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/052001-122.jpg] точки х 0, то остаточный член в этой окрестности может быть записан в форме Шлёмильха - Роша [img: http://localhost:8080/file/052001-123.jpg] где р=1,2,..., n+1, частным видом к-рой являются форма Лагpанжа [img: http://localhost:8080/file/052001-124.jpg] и форма Коши [img: http://localhost:8080/file/052001-125.jpg] Если производная порядка n+1 функции f интегрируема на отрезке с концами в точках хи х 0, то остаточный член можно записать в интегральной форме [img: http://localhost:8080/file/052001-126.jpg] Т. ф. со всеми указанными формами записи ее остаточного члена обобщается на случай функций нескольких переменных. Т. ф. справедлива и для отображений подмножеств нормированных пространств в подобные же пространства, причем в этом случае остаточный член может быть записан в форме Пеано и интегральной форме. Т. ф. позволяет изучение ряда свойств определенное число раз дифференцируемой функции свести к существенно более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего многочлена Тейлора - на этом и основаны разнообразные и многочисленные применения Т. ф., напр. для вычисления пределов функций, исследования их экстремумов, точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегралов, оценки скорости их сходимости или расходимости.