Тело

- кольцо, в к-ром уравнения ах=b и уа=b, где [img: http://localhost:8080/file/052002-25.jpg] однозначно разрешимы. В случае ассоциативного кольца достаточно потребовать существования единицы 1 и однозначной разрешимости уравнений ах=1 и уа=1 для любого [img: http://localhost:8080/file/052002-26.jpg] Коммутативное ассоциативное Т. является полем. Пример некоммутативного ассоциативного Т.- тело кватернионов, определяемое как множество матриц вида [img: http://localhost:8080/file/052002-27.jpg] над полем комплексных чисел с обычными операциями (ср. Кватернион). Примером неассоциативного Т. является Кэли - Диксона алгебра, состоящая из всех матриц того же вида над телом кватернионов. Это Т. альтернативно (см. Альтернативные кольца и алгебры). Всякое Т. является алгеброй с делением или над полем рациональных чисел, или над полем вычетов. Тело кватернионов является 4-мерной алгеброй над полем действительных чисел, а алгебра Кэли - Диксона 8-мерной. Размерность любой алгебры с делением над нолем действительных чисел равна 1, 2, 4 или 8 (см. [1], а также Топологическое кольцо). Поля действительных и комплексных чисел и тело кватернионов и только они являются связными локально компактными ассоциативными Т, (см, [5]), Всякая конечномерная алгебра без делителей нуля есть Т. Всякое конечное ассоциативное Т. коммутативно (см. [6], [8]). Ассоциативное Т. характеризуется тем, что все ненулевые модули над ним свободны. Всякое неассоциативное альтернативное Т. конечномерно [3]. Сходный результат верен для тел Мальцева [7] (см. Мальцева алгебра) и йордановых Т. [4] (см. Йорданова алгебра). В отличие от коммутативного случая, не всякое ассоциативное кольцо без делителей нуля вложимо в Т. (см. Вложение кольца).