Тензорное произведение

- 1) Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-108.jpg] универсальным в следующем смысле: для любого билинейного отображения [img: http://localhost:8080/file/052002-109.jpg] где W - произвольный A-модуль, существует единственное линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052002-110.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052002-111.jpg] Т. п. определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Оно всегда существует и может быть построено как фактормодуль свободного A-модуля F, порожденного множеством [img: http://localhost:8080/file/052002-112.jpg] по подмодулю R, порожденному элементами вида [img: http://localhost:8080/file/052002-113.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/052002-114.jpg] Если отказаться от коммутативности кольца А, то близкая конструкция позволяет сопоставить правому A-модулю V1 и левому А- модулю V2 абелеву группу [img: http://localhost:8080/file/052002-115.jpg] также называемую Т. п. этих модулей [1]. В дальнейшем Апредполагается коммутативным. Т. п. обладает следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/052002-116.jpg] для любых А-модулей V, Vi, W. Если [img: http://localhost:8080/file/052002-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052002-118.jpg] - базисы модулей V1 и V2,то [img: http://localhost:8080/file/052002-119.jpg] - базис модуля [img: http://localhost:8080/file/052002-120.jpg] В частности, [img: http://localhost:8080/file/052002-121.jpg] если Vi - свободные конечно порожденные модули (напр., конечномерные векторные пространства над полем А). Т. Определяется также Т. п. любого (не обязательно конечного) семейства A-модулей. Т. п. [img: http://localhost:8080/file/052002-123.jpg] наз. р-й тензорной степенью A-модуля V;его элементы - это контравариантные тензоры валентности рна V. Любым двум гомоморфизмам A-модулей [img: http://localhost:8080/file/052002-124.jpg] i=l, 2, сопоставляется их Т. [img: http://localhost:8080/file/052002-127.jpg] Эта операция также распространяется на любые семейства гомоморфизмов и обладает функторными свойствами (см. Модуль). Она определяет гомоморфизм A-модулей [img: http://localhost:8080/file/052002-128.jpg] к-рый является изоморфизмом, если все Vi, Wi свободны и конечно порождены.