Тензорный анализ

- обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(М)дифференцируемого многообразия М. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрич. объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д. Наибольший интерес представляют операторы, действие к-рых не выводит за пределы алгебры D(М). 1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X - линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/052003-8.jpg] пространства векторных полей D1 (М)многообразия М, зависящее от векторного поля Xи удовлетворяющее условиям: [img: http://localhost:8080/file/052003-9.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052003-10.jpg] - гладкие функции на М. Определяемые этим оператором связность Ги параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(М) в себя; при этом отображение есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой. В локальных координатах и 1, и2,..., и n ковариантная производная тензора с компонентами [img: http://localhost:8080/file/052003-11.jpg] относительно вектора [img: http://localhost:8080/file/052003-12.jpg] определяется так: [img: http://localhost:8080/file/052003-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052003-14.jpg] - объект связности Г. 2) Ли производная вдоль векторного поля X - отображение LX пространства D'(M), определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/052003-15.jpg] где [X, Y] - коммутатор векторных полей X, Y. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M), сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора [img: http://localhost:8080/file/052003-16.jpg] выражается так: [img: http://localhost:8080/file/052003-17.jpg] 3) Внешний дифференциал (внешняя производная) - линейный оператор d, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариант-ному тензору) степени рформу такого же вида и степени р+1, удовлетворяющий условиям: [img: http://localhost:8080/file/052003-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052003-19.jpg] - символ внешнего произведения, r - степень [img: http://localhost:8080/file/052003-20.jpg] В локальных координатах внешняя производная тензора [img: http://localhost:8080/file/052003-21.jpg] выражается так: [img: http://localhost:8080/file/052003-22.jpg] Оператор d- обобщение оператора rot. 4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора gij представляет собой действие нек-рого нелинейного оператора R: [img: http://localhost:8080/file/052003-23.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052003-24.jpg]