Термодинамики математические задачи

- задачи, связанные с исследованием наиболее общих свойств макроскопич. систем, находящихся в состоянии термодинамич. равновесия, и процессов перехода между этими состояниями. Математич. аппарат макроскопич. термодинамики исходит из т. н. начал термодинамики. Согласно нулевому началу, термодинамич. система должна иметь единственное в термодинамич. смысле устойчивое равновесное состояние, определяемое фиксацией внешних условий, в к-рые помещена система. Первое начало - закон сохранения и превращения энергии - для квазистатического бесконечно малого изменения параметров состояния системы (т. е. для достаточно медленного перехода из одного равновесного состояния в другое) связывает тепловой эффект этого процесса [img: http://localhost:8080/file/052003-57.jpg] с изменением внутренней энергии системы Еи величиной произведенной системой работой [img: http://localhost:8080/file/052003-58.jpg] Если в качестве наглядного и достаточно простого примера выбрать систему типа газа с фиксированным числом частиц, то его состояние можно зафиксировать тремя параметрами, задав, к примеру, его температуру [img: http://localhost:8080/file/052003-59.jpg] объем Vи число частиц N (возможны и другие варианты). Тогда работа, связанная с процессом расширения, [img: http://localhost:8080/file/052003-60.jpg] где р- давление газа, и первое начало определит баланс энергии [img: http://localhost:8080/file/052003-61.jpg] Из второго начала термодинамики для квазистатич. процессов - факта существования энтропии как однозначной функции термодинамич. состояния такой, что ее полный дифференциал [img: http://localhost:8080/file/052003-62.jpg] следует система уравнений для удельной энергии [img: http://localhost:8080/file/052003-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052003-64.jpg] как функции [img: http://localhost:8080/file/052003-65.jpg] и удельного объема v=V/N: [img: http://localhost:8080/file/052003-66.jpg] определяющих ее с точностью до константы [img: http://localhost:8080/file/052003-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052003-68.jpg] а всю внутреннюю энергию - с точностью до аддитивной константы [img: http://localhost:8080/file/052003-69.jpg] и система уравнений для удельной энтропии [img: http://localhost:8080/file/052003-70.jpg] определяющих [img: http://localhost:8080/file/052003-71.jpg] с точностью до энтропийной константы (полная энтропия [img: http://localhost:8080/file/052003-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052003-73.jpg] - с точностью до аддитивной константы [img: http://localhost:8080/file/052003-74.jpg] Остальные термодинамич. характеристики системы, термодинамич. потенциалы и т. д. определяются уже с помощью полученных решений с применением математич. операций не сложнее операций дифференцирования. Для получения решений уравнений (3) и (4) термодинамич. система должна быть задана. Эта конкретизация системы обычно включает задание уравнений состояния (в приведенном упрощенном случае - одного) [img: http://localhost:8080/file/052003-75.jpg] и калорич. уравнения состояния - теплоемкости [img: http://localhost:8080/file/052003-76.jpg] к-рые определяют макроскопич. реакцию системы по отношению к изменению внешних параметров (в приведенном случае - объема) и по отношению к ее нагреванию. Константу [img: http://localhost:8080/file/052003-77.jpg] можно отнести в счет выбора начала отсчета энергии. Энтропийная константа, необходимая при решении ряда конкретных проблем, определяется с помощью третьего начала термодинамики, к-рое в радикальной формулировке Планка выглядит как дополнительное условие к системе уравнений (4): [img: http://localhost:8080/file/052003-78.jpg] Приведенную выше постановку задачи можно назвать прямой. Возможны различные варианты обратных ее постановок. При исследовании низкотемпературных проблем и в ряде других задач используется и иная постановка: согласно первым уравнениям для [img: http://localhost:8080/file/052003-79.jpg] и s и третьему началу, следует: [img: http://localhost:8080/file/052003-80.jpg] Для реализации этих расчетов необходимо задание калорич. уравнения, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052003-81.jpg] и удельной энергии основного состояния системы [img: http://localhost:8080/file/052003-82.jpg] Как правило, эта величина непосредственно не измеряется, она может быть задана для каких-либо определенных моделей или косвенно определена с помощью упомянутых выше уравнений состояния. Учет наличия внешних полей (электростатического, магнитного и т. д.) можно включить в указанную схему (увеличится общее число уравнений типа (3) и (4)), но его проще всего произвести с помощью подсчета изменения свободной энергии [img: http://localhost:8080/file/052003-83.jpg] при включении поля аот нуля до заданной величины. Реакция системы на это включение должна быть задана как соответствующее уравнение состояния [img: http://localhost:8080/file/052003-84.jpg] такое, что работа системы при квазистатич. изменении поля на da будет равна [img: http://localhost:8080/file/052003-85.jpg] Так как, согласно (1) и (2), [img: http://localhost:8080/file/052003-86.jpg] то искомая величина (опущены все переменные, кроме [img: http://localhost:8080/file/052003-87.jpg] и а) [img: http://localhost:8080/file/052003-88.jpg] Изменение термодинамич. характеристик, связанное с включением поля а, определяется с помощью соответствующего дифференцирования величины (8) и несложных алгебраич. операций. Ввиду того что задание термодинамич. системы с помощью удобных формул для с v, р, А и т. д. возможно только для упрощенных моделей, расчет реальных термодинамич. эффектов (т. е. решение задач технич. термодинамики) производится с помощью численных методов, специальных вспомогательных таблиц и т. д. Проводились исследования особенностей термодинамич. систем вблизи критич. точки (или фазового перехода 2-го рода ввиду его определенного подобия критич. явлениям). Поведение ряда термодинамич. характеристик вблизи этой точки характеризуют степенями безразмерного отклонения температуры от критической: [img: http://localhost:8080/file/052003-89.jpg] параметры kназ. критич. индексами, для к-рых методами макроскопич. термодинамики (иногда с привлечением общих схем равновесной статистич. механики) устанавливается ряд универсальных соотношений (обычно в виде неравенств) (3). Математич. проблемы термодинамич. теории явлений переноса несложны (см. [1], [4]). Это - исследование системы линейных соотношений, связывающих потоки [img: http://localhost:8080/file/052003-90.jpg] с отклонениями макроскопич. величин [img: http://localhost:8080/file/052003-91.jpg] от равновесных значений. Коэффициенты при [img: http://localhost:8080/file/052003-92.jpg] подчинены определенным условиям симметрии и выражаются через реальные коэффициенты переноса. Если же к этим уравнениям отнестись как к временным уравнениям для [img: http://localhost:8080/file/052003-93.jpg] (в достаточно огрубленной шкале времени), то решение этой системы (лишь в редких случаях возможное в общем виде) определит в варианте полуфеноменологич. теории характер релаксации системы к равновесному состоянию.