Титса система

- совокупность (G, В, N, S), где G - группа, Ви N - ееподгруппы, S - подмножество в [img: http://localhost:8080/file/052005-94.jpg] причем выполнены следующие условия: (1) множество [img: http://localhost:8080/file/052005-95.jpg] порождает группу G; (2) [img: http://localhost:8080/file/052005-96.jpg] - нормальная подгруппа группы N; (3) множество Sпорождает группу W=N/T и состоит из элементов порядка 2; (4) [img: http://localhost:8080/file/052005-97.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/052005-98.jpg] (5) [img: http://localhost:8080/file/052005-99.jpg] Группа W, называемая группой Вeйля системы Титса (G, В, N, S). является Кокстера группой относительно системы образующих S. Соответствие [img: http://localhost:8080/file/052005-100.jpg] является биекцией множества Wна множество двойных смежных классов группы Gпо В. Примеры. 1) G = GLn(k), где k - любое поле, В- подгруппа верхних треугольных матриц, N - подгруппа мономиальных матриц (так что Т - подгруппа диагональных матриц и W=Sn), S - множество транспозиций (i i+1), где i=l, 2,... n -1. 2) Более общо, пусть G - связная редуктивная алгебраич. группа над k, Т - максимальный среди ее торов, диагонализируемых над k, N - его нормализатор, Z- его централизатор, R- система корней группы G относительно Т, W=N/Z- ее группа Вейля и S - множество отражений, соответствующих простым корням. Далее, пусть U - унипотентная подгруппа группы G, порожденная корневыми подгруппами, отвечающими положительным корням, и P=UZ. Тогда четверка (G(k), Р(k), N(k), S)является Т.c. 3) Пусть [img: http://localhost:8080/file/052005-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052005-102.jpg] - поле р-адических чисел, В - подгруппа, состоящая из матриц [img: http://localhost:8080/file/052005-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052005-104.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/052005-105.jpg] - кольцо целых p-адических чисел), у к-рых [img: http://localhost:8080/file/052005-106.jpg] при i>l, и N - подгруппа мономиальных матриц. Тогда существует такое подмножество [img: http://localhost:8080/file/052005-107.jpg] что четверка (G, В, N, S)является Т. с. Группа Wпри этом является бесконечной группой Кокстера типа [img: http://localhost:8080/file/052005-108.jpg] Аналогично определяются Т. с. с группами Вейля аффинного типа, соответствующие другим связным редуктивным группам над локальными полями. При нек-рых условиях можно утверждать, что группа G, обладающая Т. с., проста. Напр., для этого достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: (1) группа Вразрешима и не содержится ни в какой собственной нормальной подгруппе группы G; (2) группа Gсовпадает со своим коммутантом; (3) группа Кокстера Wнеразложима; (4) группа Вне содержит никакой нетривиальной нормальной подгруппы группы G. Таким путем доказывается простота Шевалле групп (в частности, конечных).