Толерантный интервал

случайный интервал, построенный по независимым одинаково распределенным случайным величинам, функция распределения к-рых F(х)неизвестна, и содержащий с заданной вероятностью [img: http://localhost:8080/file/052006-38.jpg] по крайней мере долю р(0<р<1) вероятностной меры dF. Пусть X1, Х 2,..., Х п - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция распределения к-рого. (х)неизвестна, и пусть Т 1=Т 1(Х 1,..., Х n) и T2=T2 (Х 1,..., Х n) - такие статистики, что для заранее фиксированного числа р(0<р<1) событие {F(T2)-F (T1)>р}имеет заданную вероятность [img: http://localhost:8080/file/052006-39.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/052006-40.jpg] В таком случае, случайный интервал (T1, Т 2)наз. [img: http://localhost:8080/file/052006-41.jpg] толерантным интервалoм для функции распределения F(х), его границы Т 1 и Т 2 - толерантными пределами, а вероятность [img: http://localhost:8080/file/052006-42.jpg] - коэффициентом доверия. Из (1) следует, что односторонние толерантные пределы Т 1 и Т 2 представляют собой не что иное, как обычные односторонние доверительные пределы с коэффициентом доверия [img: http://localhost:8080/file/052006-43.jpg] для квантилей [img: http://localhost:8080/file/052006-44.jpg] соответственно, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052006-45.jpg] Пример. Пусть Х 1, Х 2,..., Х n -независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному [img: http://localhost:8080/file/052006-46.jpg] закону, параметры к-рого аи [img: http://localhost:8080/file/052006-47.jpg] неизвестны. В этом случае в качестве толерантных пределов Т 1 и Т 2 естественно выбрать функции, зависящие от достаточной статистики [img: http://localhost:8080/file/052006-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052006-48.jpg] Именно, полагают [img: http://localhost:8080/file/052006-50.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052006-51.jpg] где константа k, называемая толерантным множителем, определяется как решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/052006-52.jpg] где Ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона, при этом [img: http://localhost:8080/file/052006-53.jpg] не зависит от неизвестных параметров аи [img: http://localhost:8080/file/052006-54.jpg] Построенный таким образом Т. и. обладает следующим свойством: с доверительной вероятностью [img: http://localhost:8080/file/052006-55.jpg] в интервале [img: http://localhost:8080/file/052006-56.jpg] содержится не менее чем доля рвероятностной массы нормального распределения, к-рому подчиняются наблюдения X1, Х 2,..., Х n. В предположении существования плотности вероятности f(x)=F' (х), вероятность события [img: http://localhost:8080/file/052006-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-58.jpg] не зависит от F (х)тогда и только тогда, когда толерантные пределы Т 1 и Т 2 суть порядковые статистики. Именно этот факт положен в основу общего метода построения непараметрических или, как их еще называют, свободных от распределения Т. и. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052006-59.jpg] - вектор порядковых статистик, построенный по выборке X1, X2,..., Х n и пусть [img: http://localhost:8080/file/052006-60.jpg] В силу того, что случайная величина [img: http://localhost:8080/file/052006-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-62.jpg] подчиняется бета-распределению с параметрами s-r и п-s+r+1, вероятность события [img: http://localhost:8080/file/052006-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-64.jpg] выражается интегралом I1-р(п-s+r+1, s-r), где I х(а, b) - неполная бета-функция и, следовательно, в этом случае вместо (1) имеет место соотношение [img: http://localhost:8080/file/052006-65.jpg] к-рое и позволяет по заданным [img: http://localhost:8080/file/052006-66.jpg] ри попределять номера r и s порядковых статистик X(nr) и X(ns),являющихся толерантными пределами искомого Т. и. Кроме того, соотношение (2) позволяет по заданным [img: http://localhost:8080/file/052006-67.jpg] и sопределять необходимый объем пвыборки X1, Х 2,..., Х n при к-ром (2) справедливо. При решении подобных задач пользуются статистич. таблицами.