Тома пространство

- топологич. пространство, сопоставляемое векторному (или сферическому) расслоению. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052006-110.jpg]. векторное расслоение над клеточным пространством X. Пусть в нем выбрана риманова метрика и рассматривается ассоциированное с [img: http://localhost:8080/file/052006-111.jpg] расслоение [img: http://localhost:8080/file/052006-112.jpg] на замкнутые единичные диски. В [img: http://localhost:8080/file/052006-113.jpg] содержится подрасслоение [img: http://localhost:8080/file/052006-114.jpg] на единичные сферы; факторпространство [img: http://localhost:8080/file/052006-115.jpg] есть пространство Тома расслоения [img: http://localhost:8080/file/052006-116.jpg] обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/052006-117.jpg] Для компактной базы XТ. п. можно описать также как одноточечную компактификацию тотального пространства расслоения [img: http://localhost:8080/file/052006-118.jpg] Кроме того, Т. п. является конусом проекции [img: http://localhost:8080/file/052006-119.jpg] и можно таким образом определять Т. п. любого сферич. расслоения. Конечно, Т. п. определены и для любых расслоений со слоем [img: http://localhost:8080/file/052006-120.jpg] Пусть О k - группа ортогональных преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/052006-121.jpg] Над ее классифицирующим пространством BOk имеется k-мерное векторное расслоение [img: http://localhost:8080/file/052006-122.jpg] ассоциированное с универсальным О k -расслоением. Т. п. [img: http://localhost:8080/file/052006-123.jpg] часто обозначается через МО k или ТВО k и наз. пространством Тома группы Ok. Аналогично вводятся Т. п. MUk, [img: http://localhost:8080/file/052006-124.jpg] и т. д., где Uk и [img: http://localhost:8080/file/052006-125.jpg] соответственно - унитарная и симплектическая группы. Роль Т. п. состоит в том, что они позволяют сводить ряд геометрич. задач к задачам гомотопич. топологии и, следовательно, к алгебраич. задачам. Так, задача вычисления групп бордизмов сводится к задаче вычисления гомотопич. групп Т. п. МО k, MSOk и т. д. (см. [1], [2], а также Кобордизм);задача классификации гладких многообразий сводится к исследованию гомотопич. свойств Т. п. нормального расслоения (см. [3]); задача реализации циклов подмногообразиями (см. Стинрода задача)сводится к изучению когомологий Т. п. MSOk и МО k, и т. д. (см. также Трансвереальное отображение, Трубчатая окрестность). Конструкция Т. н. естественна на категории расслоений: любой морфизм (векторных) расслоений [img: http://localhost:8080/file/052006-126.jpg] индуцирует непрерывное отображение [img: http://localhost:8080/file/052006-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052006-128.jpg] В частности, Т. п. n-мерного расслоения над точкой есть Sn, и потому для любого n-мерного векторного расслоения [img: http://localhost:8080/file/052007-1.jpg] над Xи любой точкой [img: http://localhost:8080/file/052007-2.jpg] имеется включение [img: http://localhost:8080/file/052007-3.jpg] (индуцированное включением слоя над х).Если Xлинейно связно, то все такие включения гомотопны, и можно говорить об отображении [img: http://localhost:8080/file/052007-4.jpg] единственном с точностью до гомотопности. Для векторных расслоений [img: http://localhost:8080/file/052007-5.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052007-6.jpg] над Xи Yсоответственно определено расслоение [img: http://localhost:8080/file/052007-7.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/052007-8.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/052007-9.jpg] (см. [4]). В частности, для тривиального расслоения [img: http://localhost:8080/file/052007-10.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/052007-11.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052007-12.jpg] где S - оператор надстройки, так что [img: http://localhost:8080/file/052007-13.jpg] Это обстоятельство позволяет конструировать всевозможные спектры пространств Тома. Для мультипликативной обобщенной теории когомологий Е имеется спаривание [img: http://localhost:8080/file/052007-14.jpg] Возникает спаривание [img: http://localhost:8080/file/052007-15.jpg] так что [img: http://localhost:8080/file/052007-16.jpg] является Е* (Х) -модулем, и это используется при построении Тома изоморфизма. Важной и часто используемой является следующая теорема двойственности Атьи (см. [4], [5]): если М - гладкое многообразие с краем дМ (возможно пустым) и v - его нормальное расслоение, то Т. п. Т(v) находится в S-двойственности к М/дМ.