Тонелли теорема

о конечности площади непрерывной поверхности, заданной явным уравнением: пусть действительно-значная функция f(х, у)задана на прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/052007-44.jpg] тогда: а) для того чтобы непрерывная поверхность z=f (х, у), [img: http://localhost:8080/file/052007-45.jpg] имела конечную площадь, равную S(F, D0), необходимо и достаточно, чтобы функция f(x, у)имела конечную Тонелли плоскую вариацию на D0; б) если имеет место утверждение а), то [img: http://localhost:8080/file/052007-46.jpg] причем площадь [img: http://localhost:8080/file/052007-47.jpg] является непрерывной аддитивной функцией прямоугольника [img: http://localhost:8080/file/052007-48.jpg] и почти для всех точек [img: http://localhost:8080/file/052007-49.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/052007-50.jpg] в) для того чтобы имело место равенство S(F, D0)= L(F, D0), необходимо и достаточно, чтобы функция F(х, у)была абсолютно непрерывной на D0,а для этого необходимо и достаточно, чтобы площадь S(F, D)была абсолютно непрерывной функцией прямоугольника [img: http://localhost:8080/file/052007-51.jpg] Эта теорема доказана Л. Тонелли (см. [1] - [3], а также [4]), а утверждение а) даже для поверхностей, заданных параметрически, установлено С. Банахом [5] (в несколько иной терминологии).