Топологическое векторное пространство

над топологическим полем (т. п.), К - векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение [img: http://localhost:8080/file/052008-64.jpg] непрерывно; 2) отображение [img: http://localhost:8080/file/052008-65.jpg] непрерывно (при этом предполагается, что произведения [img: http://localhost:8080/file/052008-66.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/052008-67.jpg] наделены произведениями соответствующих топологий). Совершенно аналогично можно определить топологическое левое и правое векторные пространства над (не обязательно коммутативным) топологич. телом. Для обозначения Т. в. и. Ес топологией [img: http://localhost:8080/file/052008-68.jpg] иногда будет использоваться символ [img: http://localhost:8080/file/052008-69.jpg] с другой стороны, упоминание о поле Кчасто будет опускаться. Т. в. п. Е 1 и Е 2 над одним и тем же т. п. наз. изоморфными, если существует непрерывное линейное взаимно однозначное отображение Е 1 на Е 2. обратное к к-рому также непрерывно. Размерностью Т. в. п. [img: http://localhost:8080/file/052008-70.jpg] наз. размерность векторного пространства Е. Способы задания топологии Т. в. п. и ее свойства. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052008-71.jpg] - Т. в. п. над т. п. К. Топология [img: http://localhost:8080/file/052008-72.jpg] инвариантна относительно сдвигов (т. е. для каждого [img: http://localhost:8080/file/052008-73.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/052008-74.jpg] представляет собой гомеоморфизм Ена себя); поэтому топология [img: http://localhost:8080/file/052008-75.jpg] однозначно определяется базой (базисом, фундаментальной системой) окрестностей всякой фиксированной точки (в частности, нуля). Топология [img: http://localhost:8080/file/052008-76.jpg] согласуется со структурой аддитивной группы пространства Е, и справедливы следующие предложения. 1. Для того чтобы Ебыло отделимым, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки [img: http://localhost:8080/file/052008-77.jpg] существовала окрестность нуля, не содержащая х.2. Если. отделимо, то оно вполне регулярно. 3. В E существует единственная равномерная структура, обладающая следующими свойствами: а) она инвариантна относительно сдвигов (т. е. для нее все сдвиги представляют собой равномерно непрерывные отображения); б) ассоциированная с ней топология совпадает с исходной топологией пространства Е. Множество в Т. в. п. наз. полным, если оно полно относительно равномерной структуры, о к-рой только что шла речь. Т. о., Т. в. п. Еполно, если всякий Коши фильтр в Есходится. Для всякого Т. в. п. Есуществует полное Т. в. п. над тем же полем, содержащее Ев качестве всюду плотного подмножества и индуцирующее на Еисходные линейную структуру и топологию; оно наз. пополнением пространства Е. Всякое отделимое Т. в. п. обладает отделимым пополнением, единственным с точностью до изоморфизма, оставляющего неподвижными элементы пространства Е. Всюду далее предполагается, если не оговорено противное, что К - недискретное нормированное поле, наделенное топологией, определяемой нормой. Если Е - векторное пространство над К, то множество [img: http://localhost:8080/file/052008-78.jpg] называется закругленным (или уравновешенным), если [img: http://localhost:8080/file/052008-79.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052008-80.jpg] Если. и В- два подмножества в Е, то говорят, что А поглощает В, если существует такое положительное число r, что [img: http://localhost:8080/file/052008-81.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/052008-82.jpg] Подмножество пространства Еназ. поглощающим (или радиальным), если оно поглощает каждое одноточечное множество. Во всяком Т. в. п. Енад. существует база [img: http://localhost:8080/file/052008-83.jpg] замкнутых окрестностей нуля со следующими свойствами: 1) для всякого множества [img: http://localhost:8080/file/052008-84.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/052008-85.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/052008-86.jpg] 2) каждое [img: http://localhost:8080/file/052008-87.jpg] - закругленное поглощающее множество; 3) если [img: http://localhost:8080/file/052008-88.jpg] то и [img: http://localhost:8080/file/052008-89.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/052008-90.jpg] С другой стороны, пусть [img: http://localhost:8080/file/052008-91.jpg] - топология в векторном пространстве Енад К, инвариантная относительно сдвигов и обладающая базой окрестностей нуля, имеющей свойства (1) и (2), а также следующее свойство: За) существует такое [img: http://localhost:8080/file/052008-92.jpg] что, если [img: http://localhost:8080/file/052008-93.jpg] то и [img: http://localhost:8080/file/052008-94.jpg] Тогда Е, наделенное топологией [img: http://localhost:8080/file/052008-95.jpg] -Т. в. п. над K (в том случае, когда норма в поле Кархимедова, (За) является следствием остальных требований, наложенных на [img: http://localhost:8080/file/052008-96.jpg] Всякий базис фильтра [img: http://localhost:8080/file/052008-97.jpg] в векторном пространстве Енад К, обладающий свойствами (1), (2), (За), а в случае поля с архимедовой нормой - хотя бы свойствами (1) и (2),- является фундаментальной системой окрестностей нуля (не обязательно замкнутых) нек-рой однозначно определяемой топологии [img: http://localhost:8080/file/052008-98.jpg] в Е, согласующейся со структурой векторного пространства в Е. Т. в. п. Енад полем вещественных чисел [img: http://localhost:8080/file/052008-99.jpg] или над полем комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/052008-100.jpg] и его топология наз. локально выпуклыми, если Еобладает базой окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств (иногда в определение локально выпуклого пространства включается еще требование его отделимости). Примеры. 1. Всякое т. п. Кможет рассматриваться как (одномерное) Т. в. п. над К;рассматриваемое таким образом, оно будет обозначаться символомК 0; 2. Пусть I - нек-рое непустое множество и [img: http://localhost:8080/file/052008-101.jpg] - векторное пространство над К, представляющее собой произведение I экземпляров векторного пространства К 0,наделенное топологией, являющейся произведением топологий сомножителей. Тогда [img: http://localhost:8080/file/052008-102.jpg] - Т. в. п. 3. Если топология т. п. Кдискретна, то всякое векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой ого аддитивной группы и инвариантной относительно операций умножения на ненулевые элементы из К, является Т. в. п. (этим условиям удовлетворяет, в частности, дискретная топология в Е). Т. в. п. над полями с дискретной топологией наз. топологическими векторными группами. 4. Пусть Е - векторное пространство над т. п. К, [img: http://localhost:8080/file/052008-103.jpg] - нек-рое множество полунорм на Е. Шаром радиуса r>0 по полунорме р на Еназ. [img: http://localhost:8080/file/052008-154.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/052008-155.jpg] образует базис фильтра в [img: http://localhost:8080/file/052008-156.jpg] обладающий (определенными выше) свойствами (1) и (2); пусть [img: http://localhost:8080/file/052008-157.jpg] - согласующаяся со структурой векторного пространства топология в [img: http://localhost:8080/file/052008-158.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/052008-159.jpg] является базой окрестностей нуля, и [img: http://localhost:8080/file/052008-160.jpg] - ассоциированное с [img: http://localhost:8080/file/052008-161.jpg] отделимое Т. в. п. (само [img: http://localhost:8080/file/052008-162.jpg] неотделимо). Т. в. п. [img: http://localhost:8080/file/052008-163.jpg] метризуемо, но не локально выпукло; его можно отождествить - как векторное пространство - с пространством классов [img: http://localhost:8080/file/052008-164.jpg] -эквивалентных [img: http://localhost:8080/file/052008-165.jpg] -измеримых действительных функций на [0, 1]; сходимость последовательностей в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052008-166.jpg] (соответственно, в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052008-167.jpg] совпадает со сходимостью по мере (в первом случае - индивидуальных функций, а во втором - классов [img: http://localhost:8080/file/052008-168.jpg] -эквивалентности таких функций). Всюду далее предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/052008-169.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/052008-170.jpg] 9. Пусть [img: http://localhost:8080/file/052008-171.jpg] - векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций [img: http://localhost:8080/file/052008-172.jpg] определенных на [img: http://localhost:8080/file/052008-173.jpg] принимающих значения в Ки удовлетворяющих следующему условию [img: http://localhost:8080/file/052008-174.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/052008-175.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052008-176.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052008-177.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052008-178.jpg] Наделенное топологией [img: http://localhost:8080/file/052008-179.jpg] задаваемой семейством норм prk,определяемых предыдущим равенством, Sстановится полным метризуемым локально выпуклым пространством (такие пространства наз. пространствами Фреше). Пространство [img: http://localhost:8080/file/052008-180.jpg] играет важную роль в теории обобщенных функций. Интересно, что на. не существует никакой нормы, превращающей S в банахово пространство, в топологии к-рого каждая из функций [img: http://localhost:8080/file/052008-181.jpg] непрерывна (в частности, л. в. п. [img: http://localhost:8080/file/052008-182.jpg] ненормируемо). Некоторые методы построения Т. в. п. 1. Проективные топологии. Пусть Е - векторное пространство и для каждого [img: http://localhost:8080/file/052008-183.jpg] из нек-рого множества [img: http://localhost:8080/file/052008-184.jpg] индексов [img: http://localhost:8080/file/052008-185.jpg] - линейное отображение Ев Т. в. п. [img: http://localhost:8080/file/052008-186.jpg] тогда в Есреди всех топологий, для к-рых непрерывны все отображения [img: http://localhost:8080/file/052008-187.jpg] существует самая слабая топология [img: http://localhost:8080/file/052009-1.jpg] (она является верхней гранью семейства топологий [img: http://localhost:8080/file/052009-2.jpg] где для каждого [img: http://localhost:8080/file/052009-3.jpg] - топология в [img: http://localhost:8080/file/052009-4.jpg] Топология [img: http://localhost:8080/file/052009-5.jpg] наз. проективной топологией - а наделенное ею пространство Е - проективным пределом семейства пространств [img: http://localhost:8080/file/052009-6.jpg] относительно отображений [img: http://localhost:8080/file/052009-7.jpg] топология [img: http://localhost:8080/file/052009-8.jpg] согласуется со структурой векторного пространства в Е, а если все пространства Елокально выпуклы, то таково же и [img: http://localhost:8080/file/052009-9.jpg] (Иногда термин лпроективный предел