Топологическое кольцо

кольцо R, являющееся топологич. пространством, причем требуется, чтобы отображения [img: http://localhost:8080/file/052009-129.jpg] были непрерывны. Т. к. Rназ. отделимым, если оно отделимо как топологич. пространство. В этом случае пространство R хаусдорфово. Любое подкольцо МТ. к. R, а также факторкольцо R/J по идеалу J являются Т. к. Если Rотделимо и идеал J замкнут, то R/J - отделимое Т. к. Замыкание [img: http://localhost:8080/file/052009-130.jpg] подкольца Мв Rтакже является Т. к. Прямое произведение топологич. колец - Т. к. Гомоморфизм топологич. колец - это гомоморфизм колец, являющийся непрерывным отображением. Если [img: http://localhost:8080/file/052009-131.jpg] - такой гомоморфизм, причем f- эпиморфизм и открытое отображение, то R2 как Т. к. изоморфно кольцу R1/Ker f. Примеры Т. к. доставляют банаховы алгебры. Важный тип Т. к. определяется тем условием, что в качестве фундаментальной системы окрестностей нуля можно выбрать некоторое множество идеалов. Например, с любым идеалом [img: http://localhost:8080/file/052009-132.jpg] коммутативного кольца Rсвязана [img: http://localhost:8080/file/052009-133.jpg] -адическая топология, в к-рой множества [img: http://localhost:8080/file/052009-134.jpg] для всех натуральных побразуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, если выполнено условие [img: http://localhost:8080/file/052009-135.jpg] Для Т. к. Rопределено его пополнение [img: http://localhost:8080/file/052009-136.jpg] являющееся полным Т. к., причем отделимое кольцо Rвкладывается в [img: http://localhost:8080/file/052009-137.jpg] к-рое тоже отделимо, как всюду плотное подмножество. Аддитивная группа кольца [img: http://localhost:8080/file/052009-138.jpg] совпадает с пополнением аддитивной группы кольца Rкак абелевой топологич. группы.