Топологическое тензорное произведение

локально выпуклых пространств E1 и Е 2 - локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на [img: http://localhost:8080/file/052010-81.jpg] билинейным операторам с нек-рым условием непрерывности. Точнее, пусть [img: http://localhost:8080/file/052010-82.jpg] - нек-рый класс локально выпуклых пространств и для каждого [img: http://localhost:8080/file/052010-83.jpg] задано подмножество Т(F)множества рездельно непрерывных билинейных операторов из [img: http://localhost:8080/file/052010-84.jpg] в F. Тогда Т. т. п. E1 и Е 2 (относительно класса Т(F))наз. локально выпуклое пространство [img: http://localhost:8080/file/052010-85.jpg] вместе с оператором [img: http://localhost:8080/file/052010-86.jpg] обладающее следующим свойством: для любого [img: http://localhost:8080/file/052010-87.jpg] существует единственный непрерывный линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/052010-88.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/052010-89.jpg] Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе [img: http://localhost:8080/file/052010-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052010-91.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052010-92.jpg] определено как представляющий объект этого функтора. Во всех известных (1985) примерах [img: http://localhost:8080/file/052010-93.jpg] содержит поле комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/052010-94.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/052010-95.jpg] содержит все билинейные функционалы вида [img: http://localhost:8080/file/052010-96.jpg] переводящие (х, у)в i(x) g(y). В этом случае, если Т. т. п. существует, то в [img: http://localhost:8080/file/052010-97.jpg] есть плотное подпространство, к-рое можно отождествить с пространством [img: http://localhost:8080/file/052010-98.jpg] алгебраического тензорного произведения;при этом [img: http://localhost:8080/file/052010-99.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/052010-100.jpg] состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то Т. т. п. наз. индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное Т. т. п. Пусть { р i} - определяющие семейства полунорм в Е i, i=l, 2; через p обозначается топология в [img: http://localhost:8080/file/052010-101.jpg] определенная семейством полунорм [img: http://localhost:8080/file/052010-102.jpg] Тогда если [img: http://localhost:8080/file/052010-103.jpg] - класс всех, соответственно, всех полных локально выпуклых пространств, то проективное Т. т. п. E1 и Е 2 существует и его локально выпуклое пространство есть [img: http://localhost:8080/file/052010-104.jpg] с топологией [img: http://localhost:8080/file/052010-105.jpg] соответственно, его пополнение. Если Ei - банаховы пространства с нормами р i, i=l, 2, то [img: http://localhost:8080/file/052010-106.jpg] - норма в [img: http://localhost:8080/file/052010-107.jpg] пополнение но к-рой обозначается через [img: http://localhost:8080/file/052010-108.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/052010-109.jpg] имеютдля каждого [img: http://localhost:8080/file/052010-111.jpg] представление [img: http://localhost:8080/file/052010-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052010-112.jpg] Если снабдить [img: http://localhost:8080/file/052010-113.jpg] более слабой, чем [img: http://localhost:8080/file/052010-114.jpg] топологией с помощью семейства полунорм [img: http://localhost:8080/file/052010-115.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052010-116.jpg] где Vи W - поляры единичных шаров относительно р1 и р 2, то возникает Т. т. п., иногда наз. слабым. Локально выпуклые пространства E1,обладающие тем свойством, что для любого Е 2 обе топологии в [img: http://localhost:8080/file/052010-117.jpg] совпадают, образуют важный класс ядерных пространств. Проективное Т. т. п. связано с понятием свойства аппроксимации: локально выпуклое пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества [img: http://localhost:8080/file/052010-118.jpg] и окрестности нуля Uсуществует непрерывный оператор конечного ранга [img: http://localhost:8080/file/052010-119.jpg] такой, что для всех [img: http://localhost:8080/file/052010-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052010-121.jpg] Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства Е 2 оператор [img: http://localhost:8080/file/052010-122.jpg] однозначно определенный равенством [img: http://localhost:8080/file/052010-123.jpg] имеет нулевое ядро. Построено [3] сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации,- т. о. отрицательно решена т. н. лпроблема базиса