Трансфинитный диаметр

компактного множества - характеристика d=d(E)компактного множества Ена комплексной плоскости, служащая геометрии, интерпретацией емкости этого множества. Пусть Е- компактное бесконечное множество плоскости z. Величина [img: http://localhost:8080/file/052014-19.jpg] где [ а, b]=|а-b| - евклидово расстояние между точками а, b, наз. п- мдиаметром множества Е. В частности, d2 (Е)- евклидов диаметр множества Е. Точки zn,1...., zn,n множества Е, для к-рых в правой части равенства (1) реализуется максимум, наз. точками Фекете (или узлами Вандермонда) для Е. Последовательность величин dn(E)невозрастающая: [img: http://localhost:8080/file/052014-20.jpg] п=2, 3,..., так что существует предел [img: http://localhost:8080/file/052014-21.jpg] Величина d(E)и наз. трансфинитным диаметром множества Е. Если Е- конечное множество, то полагают d(E)=0.Т. д. d(E), Чебышева постоянная [img: http://localhost:8080/file/052014-22.jpg] и емкость множества С(Е)связаны равенствами [img: http://localhost:8080/file/052014-23.jpg] Т. д. множества Еобладает следующими свойствами: 1) если [img: http://localhost:8080/file/052014-24.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/052014-25.jpg] 2) если а- фиксированное комплексное число и [img: http://localhost:8080/file/052014-26.jpg] то d(E1)=|a|d(E);3) если [img: http://localhost:8080/file/052014-27.jpg] - множество точек, находящихся на расстоянии от Е, меньшем или равном e, то [img: http://localhost:8080/file/052014-28.jpg] 4) если Е* - множество всех корней уравнения [img: http://localhost:8080/file/052014-29.jpg] где Q(z) - данный многочлен,. пробегает множество Е, то [img: http://localhost:8080/file/052014-30.jpg] Т. д. круга равен его радиусу; Т. [img: http://localhost:8080/file/052014-34.jpg] - гиперболическое псевдорасстояние между точками а и b, т. е. [img: http://localhost:8080/file/052014-35.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052014-36.jpg] - гиперболич. расстояние между точками а, b круга |z|<l (см. Гиперболическая метрика). Как и в евклидовом случае, последовательность dn,h(E) невозрастающая, и существует предел [img: http://localhost:8080/file/052014-37.jpg] наз. гиперболическим трансфинитным диаметром множества Е. Определяя гиперболическую постоянную Чебышева [img: http://localhost:8080/file/052014-38.jpg] и гиперболическую емкость С h (Е)множества Епосредством гиперболич. псевдорасстояния (2) между точками круга |z|<l аналогично тому, как постоянная Чебышева [img: http://localhost:8080/file/052014-39.jpg] и емкость С(Е) определяются при помощи евклидова расстояния между точками плоскости z, получают равенства [img: http://localhost:8080/file/052014-40.jpg] Гиперболич. Т. д. инвариантен относительно полной группы гиперболич. изометрий. Если Е - континуум, то имеется простая связь гиперболич. Т. д. dh(E)сконформным отображением. Именно, пусть Е - континуум в круге |z| <1 и дополнение. до круга |z|<1 конформно эквивалентно круговому кольцу r<|w|<1, 0<r<1. Тогда r=dh(E). Пусть в качестве модели эллиптич. плоскости взята расширенная плоскость zс метрикой ее римановой сферы. диаметра 1, касающейся плоскости zв точке z=0, т. e. метрикой, определяемой линейным элементом dse=|dz|/(1 + |z|2). при этом пусть отождествлены точки z и z*=-1/z, к-рым при стереографич. проекции расширенной плоскости z на сферу. соответствуют диаметрально противоположные точки на К. Пусть Е - замкнутое бесконечное множество на расширенной плоскости z, [img: http://localhost:8080/file/052014-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052014-42.jpg] Тогда n-й эллиптический диаметр dn,е (Е)множества. определяется равенством (1), в к-рoм [img: http://localhost:8080/file/052014-43.jpg] - эллиптическое псевдорасстояние между точками а, b множества Е, т. е, [img: http://localhost:8080/file/052014-44.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/052014-45.jpg] - эллиптич. расстояние между аи b, Как и в предыдущих случаях, последовательность dn,e(E)невозрастающая, и существует предел [img: http://localhost:8080/file/052014-46.jpg] называемый эллиптическим трансфинитным диаметром множества Е. Определяя эллиптическую постоянную Чебышева [img: http://localhost:8080/file/052014-47.jpg] иэллиптическую емкость С е (Е)множества Епосредством эллиптич. псевдорасстояния (3), получают равенства: [img: http://localhost:8080/file/052014-48.jpg] Эллиптич. Т. д. de(E) инвариантен относительно группы дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/052014-49.jpg] расширенной плоскости. на себя, дополненной группой отражений относительно эллиптич. прямых. Первая из этих групп изоморфна группе вращений сферы Котносительно ее центра, вторая - группе отражений сферы Котносительно плоскостей, проходящих через ее центр. При данном определении эллиптич. Т. д. множества Еследующим образом связан с конформным отображением. Если Е - континуум на расширенной плоскости z, [img: http://localhost:8080/file/052014-50.jpg] и дополнение [img: http://localhost:8080/file/052014-51.jpg] до расширенной плоскости конформно эквивалентно круговому кольцу r<|w|<l/r, 0<r<1, то r=de(E). Понятие Т. д. допускает обобщение для компактов Ев многомерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/052014-52.jpg] связанное с потенциала теорией. Пусть для точек [img: http://localhost:8080/file/052014-54.jpg] [img: http://localhost:8080/file/052014-53.jpg] - фундаментальное решение уравнения Лапласа, и для набора точек [img: http://localhost:8080/file/052014-56.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/052014-55.jpg] Тогда при т=2 справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/052014-57.jpg] а при [img: http://localhost:8080/file/052014-58.jpg] целесообразно принять (см. [4]) [img: http://localhost:8080/file/052014-59.jpg]