Трансцендентная функция

в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости [img: http://localhost:8080/file/052014-64.jpg] комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez, тригонометрич. функции sin z, cos z, гиперболич. функции sh z, ch z,.функция l/Г(z), где Г(z) - гамма-функция Эйлера. Целые Т. ф. имеют единственную существенно особую точку в бесконечности. Собственно мероморфные Т. ф. характеризуются наличием конечного или бесконечного множества полюсов в конечной плоскости [img: http://localhost:8080/file/052014-65.jpg] и соответственно наличием существенно особой точки или предельной точки полюсов в бесконечности; к ним, напр., относятся тригонометрич. функции tg z, ctg z, гиперболич. функции th z, cth z, гамма-функция Г(z). Приведенное определение Т. ф. распространяется на мероморфные функции f(z) в пространстве [img: http://localhost:8080/file/052014-66.jpg] многих комплексных переменных z=(z1,..., zn). В широком смысле слова под Т. ф. понимается всякая аналитич. ция (однозначная или многозначная), отличная от алгебраич. функции, для вычисления значений к-рой помимо алгебраич. операций над аргументом, необходимо применить предельный переход в той или иной форме. Для Т. ф. характерно наличие у нее хотя бы одной особенности, не являющейся полюсом или алгебраич. точкой ветвления; напр., логариф-мич. функция ln z имеет две трансцендентные точки ветвления z=0 и [img: http://localhost:8080/file/052014-67.jpg] Аналитич. функция трансцендентна тогда и только тогда, когда ее риманова поверхность не компактна. Важный класс Т. ф. составляют часто встречающиеся специальные функции: гамма-функция и бета-функция Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, особенно ее частные случаи - сферические функции, цилиндрические функции, Матъё функции.