Трансцендентное расширение

расширение поля, не являющееся алгебраическим. Расширение К/k трансцендентно тогда и только тогда, когда поле Ксодержит элементы, трансцендентные над k, то есть элементы, не являющиеся корнем никакого алгебраич. уравнения с коэффициентами из k. Элементы множества [img: http://localhost:8080/file/052014-68.jpg] наз. алгебраически независимыми над k, если для любого конечного набора [img: http://localhost:8080/file/052014-69.jpg] и любого многочлена F(X1,..., Х т)с коэффициентами из k [img: http://localhost:8080/file/052014-70.jpg] Элементы множества Xтрансцендентны над k. Если X- максимальное множество, все элементы к-рого алгебраически независимы над k, то Xназ. базисом трансцендентности поля Кнад k. Мощность множества Xназ. степенью трансцендентности поля Кнад kи является инвариантом расширения K/k Для башни полей [img: http://localhost:8080/file/052014-71.jpg] степень трансцендентности L/k равна сумме степеней трансцендентности L/K и K/k. Если все элементы множества Xалгебраически независимы над k, то расширение k(X)наз. чисто трансцендентным. В этом случае поле k(X)изоморфно полю рациональных функций от множества переменных Xнад k. Любое расширение полей L/k представимо в виде башни расширений [img: http://localhost:8080/file/052014-72.jpg] где L/K - алгебраическое, a K/k - чисто трансцендентное расширение. Если поле Кможно выбрать так, чтобы L/K было сепарабельным расширением, то расширение L/k наз. сепарабельно порожденным, а базис трансцендентности Кнад k - сепарирующим базисом. Если. сепарабельно порождено над k, то Lсепарабельно над k. В случае когда расширение L/k конечно порождено, верно и обратное утверждение. Расширение K/k сепарабельно тогда и только тогда, когда любое дифференцирование поля kпродолжается на К. Такое продолжение определено однозначно для любого дифференцирования тогда и только тогда, когда расширение K/k алгебраично.